Sens de variation d'une suite - Suite croissante et décroissante

Suite croissante - Suite décroissante

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♦ Cours en vidéo: Comprendre la notion de suite croissante - décroissante

Suite croissante

Dire qu'une suite $(u_n)$ est croissante
$\Updownarrow$
Un terme est toujours plus petit que le suivant.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_n \leqslant u_{n+1}}$

Graphique d'une suite croissante:

Une suite peut être croissante à partir d'un certain rang

Dire que $(u_n)$ est croissante à partir du rang $\boldsymbol{n_0}$
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $\boldsymbol{n\geqslant n_0}$, $u_n \leqslant u_{n+1}$

Graphique d'une suite croissante à partir du rang 3:
Suite décroissante

Dire qu'une suite $(u_n)$ est décroissante
$\Updownarrow$
Un terme est toujours plus grand que le suivant.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_n \geqslant u_{n+1}}$

Graphique d'une suite décroissante:

Une suite peut être décroissante à partir d'un certain rang

Dire que $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $\boldsymbol{n\geqslant n_0}$, $u_n \geqslant u_{n+1}$

Graphique d'une suite décroissante à partir du rang 3:
Comment trouver le sens de variation d'une suite:

Etudier le sens de variation d'une suite,
c'est dire si cette suite est croissante ou décroissante.

     - Méthode générale

1) Calculer $u_{n+1}-u_n$.
2) Trouver le signe de $u_{n+1}-u_n$.

Si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n \geqslant 0$ alors la suite $(u_n)$ est croissante.
Si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n \leqslant 0$ alors la suite $(u_n)$ est décroissante.

Cliquer ici pour faire un exercice, utilisant cette méthode.

     - Si $(u_n)$ est strictement positive

1) Calculer $\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n}}$
2) Comparer $\displaystyle{ \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ à 1

Si pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n}} \geqslant 1$ alors la suite $(u_n)$ est croissante.
Si pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n}} \leqslant 1$ alors la suite $(u_n)$ est décroissante.

Avant d'appliquer cette méthode,
Ne pas oublier de vérifier que
la suite est strictement positive!

Cliquer ici pour faire un exercice, utilisant cette méthode.

     - Si $u_n=f(n)$

1) Etudier les variations de $f$

On pourra utiliser la dérivation

Sous réserve que $f$ soit dérivable

2) Ne conclure que si $f$ est monotone sur $[p;+\infty[$

monotone signifie soit toujours croissante, soit toujours décroissante.
$p$ désigne un entier naturel.

- Si $f$ est croissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$

La fonction est croissante sur $[2;+\infty[$
Donc la suite est croissante à partir du rang 2.

- Si $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$

La fonction est décroissante sur $[2;+\infty[$
Donc la suite est décroissante à partir du rang 2.

- Dans les autres cas, on ne peut rien conclure.

Les variations de la fonction changent.
La suite n'a pas les mêmes variations.
La suite est constante!

Cliquer ici pour faire un exercice, utilisant cette méthode.

     - Si $u_{n+1}=f(u_n)$

Ne pas penser que $f$ et $(u_n)$ ont les mêmes variations.

Ne pas confondre avec les résultats de $u_n=f(n)$,
comme expliqué dans la vidéo.

$f$ peut être croissante et $(u_n)$ décroissante.

Ici $f$ est croissante et pourtant $(u_n)$ est décroissante
comme expliqué dans la vidéo.

Cliquer ici pour faire un exercice, utilisant cette méthode.

Corrigé en vidéo

Exercices 1:

Variations d'une suite et signe de $u_{n+1} - u_n$

Pour chaque suite définie ci-dessous, calculer les premiers termes à la main,
conjecturer le sens de variations puis démontrer la conjecture en étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$.
1) $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $\displaystyle{u_n = \frac{n}{3^n}}$.
2) $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $\displaystyle{u_n = n + \frac{1}{n}}$.

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Exercices 2:

Variations d'une suite du type $u_n = f(n)$

Les suites ci-dessous sont définies par une relation du type $u_n = f(n)$.
Dans chaque cas, préciser $f$, étudier ses variations sur $[0~;~+\infty[$ et en déduire les variations de la suite.
1) $u_n = 5-\dfrac{n}{3}$
2) $u_n = 2n^2 - 7n-2$
3) $\displaystyle{u_n = \frac{1}{2n+1}}$

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Exercices 3:

Variations d'une suite à l'aide de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$

On admet que les suites ci-dessous ont tous leurs termes strictement positifs.
En comparant le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$, étudier le sens de variations des suites.
1) Pour tout entier $n$ avec $n\geqslant 1$, $u_n = \dfrac{3^n}{5n}$.
2) Pour tout entier $n$ avec $n\geqslant 1$, $u_{n+1} = \dfrac{8u_{n}}{n}$ et $u_1 = 1$.

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Exercices 4:

Variations d'une suite à l'aide de deux méthodes différentes

Démontrer en utilisant deux méthodes différentes que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= n^2 - 10n$ est monotone à partir d'un certain rang (que l'on précisera).

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Exercices 5:

Variations d'une suite définie par récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 3$ et $u_0 = 1$.
1) Calculer à la main $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2) Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3) Montrer que pour tout réel $x$, $x^2 -3x + 3 >0$.
4) Démontrer votre conjecture.

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Exercices 6:

Suite définie par récurrence et sens de variations - Quantité conjuguée

On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction $f$ définie sur $[-2;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{2+x}$.

1) A l'aide du graphique, représenter $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3) Dans la suite de l'exercice, on admet que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 2$.
a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\frac{-{u_n}^2+u_n+2}{\sqrt{2+u_n}+u_n}}$.
b) En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.