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Exercices 1:
Mode de génération d'une suite
Pour chacune des suites définies ci-dessous, calculer à la main le terme demandé puis vérifier à la calculatrice.
1) Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{(-2)^n}{n+1}$. Calculer $u_5$.
2) Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=v_n (v_n - 1) -2$ et $v_0 = 2$. Calculer $v_3$.
3) Pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}= (n+1)w_n$ et $w_0 = 1$. Calculer $w_4$.
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Exercices 2:
Définir une suite par récurrence et par une formule explicite
Pour chacune des suites proposées ci-dessous, donner une formule explicite pour $u_n$ en fonction de $n$ et une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
1) $(u_n)$ est la suite des entiers pairs : $u_0 = 0, \, u_1 = 2, \, u_2 = 4, \, u_3 = 6, \, \ldots$
2) $(v_n)$ est la suite des entiers impairs : $v_0 = 1, \, v_1 = 3, \, v_2 = 5, \, v_3 = 7, \, \ldots$
3) $(w_n)$ est la suite des carrés parfaits : $w_0 = 0, \, w_1 = 1, \, w_2 = 4, \, w_3 = 9, \, w_4 = 16, \, \ldots$
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Exercices 3:
Suite définie par récurrence - $u_n=an^2+bn+c$
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = u_n + 4n - 6$ avec $u_0 = 1$.
-
Calculer à la main $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
-
Vérifier vos résultats à la calculatrice puis afficher sur l'écran de votre calculatrice le nuage de points associé aux sept premiers termes de la suite. A quel type de fonction ce nuage de points fait-il penser?
-
On admet maintenant qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout entier naturel $n$, on ait $u_n = an^2 + bn +c$. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.
-
Vous assurer alors que la suite $(an^2 + bn +c)$ obtenue vérifie la relation de récurrence qui définit la suite $(u_n)$.
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Exercices 4:
Suite périodique
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 3-u_n$ et $u_0 = -1$.
1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2) Soit $n$ un entier naturel, conjecturer les valeurs de $u_{2n}$ et de $u_{2n+1}$.
3) Démontrer maintenant que, quelle que soit la valeur de $u_0$, on a pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_n$.
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Exercices 5:
Suite et pourcentage - Traduire une situation
Traduire chacune des situations suivantes à l'aide d'une suite $(u_n)$:
Pour cela, déterminer le terme initial et une relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
1) Tous les ans, un arbre pousse de 30 cm.
2) Un livre coûte cette année 12€. Son prix augmente de 7% par an tous les ans.
3) Un livre coûte cette année 12€. Son prix baisse de 7% par an tous les ans.
4) Chaque année, une ville de 100 000 mille habitants a sa population qui augmente.
de 4 % par accroissement naturel et perd 3000 habitants qui déménagent.
5) Myriam place à la banque 350€ à intérêts composés de 4% par an.
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Exercices 6:
Suite définie par une formule explicite et par récurrence
On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n-n+1$.
1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2) Déterminer une relation pour $n\ge 1$ entre $u_n$ et $u_{n-1}$.
3) On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=2^n+n$.
a) Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
b) Quelle conjecture peut-on faire? Démontrer cette conjecture.
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Exercices 7:
Suite de Syracuse - Algorithmique
On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0$, entier strictement positif et
pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\left \{
\begin{array}{c l}
\frac {u_n}2 & \textbf{si $u_n$ est pair} \\
3u_n+1 & \textbf{si $u_n$ est impair} \\
\end{array}
\right.$.
1) Calculer les neuf premiers termes de la suite lorsque $u_0=10$. Qu'observe-t-on?
2) Qu'observe-t-on lorsque $u_0=13$?
3) Quelle conjecture peut-on faire?
4) Écrire un algorithme pour tester cette conjecture.
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Exercices 8:
Suites imbriquées - Algorithmique
On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par:
$u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en
utilisant une boucle Tant Que.
Exercices 9:
Suite périodique
Soit la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0\ne 1$ et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\frac{u_n + 1}{u_n -1}$.
On admet que tous les termes de la suite sont différents de 1.
1) Calculer les quatre premiers termes de la suite lorsque $u_0=0$. Qu'observe-t-on?
2) Même question lorsque $u_0=2$.
3) Quelle conjecture peut-on faire?
4) Démontrer cette conjecture.
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Exercices 11:
Suite et algorithmique - Piège très Classique
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\frac {n+1}{2n+4}\right)u_n$.
On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0.
Compléter l’algorithme ci-dessous, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.
$n ~\leftarrow ~0^{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~1$
Tant que $\dots$
$n ~\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
Fin Tant que
Afficher $n_{\scriptsize \strut}$
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Exercices 12:
Suite de Fibonacci - algorithmique - Programmation Python
On définit la suite de réels $(a_n)$ par $\left \{
\begin{array}{c l}
a_0 & = 0 \\
a_1 & = 1 \\
a_{n+1} & = a_n+a_{n-1} \text{ pour tout entier }n\geqslant 1.
\end{array}
\right.$
On appelle cette suite la suite de Fibonacci.
1) Calculer $a_2$, $a_3$ et $a_4$.
2) Écrire un algorithme qui calcule et affiche $a_{20}$.
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