suite définition - forme explicite et par récurrence

Conseils

Suite

Exercice type

Savoir calculer les premiers termes (en 4 min !) - Les deux exemples à connaître

Casio graph 35

Savoir utiliser sa calculatrice pour calculer les premiers termes (en 6 min !)

Python & les suites

afficher les n premiers termes avec une suite définie de manière explicite

afficher les n premiers termes avec une suite définie par récurrence

Cours complet

Une suite, c'est quoi ?

Imaginer une suite de cartes.
Chaque carte est numérotée en bas à gauche.
Et au centre de chaque carte, on marque une valeur en rouge.

On appelle $\boldsymbol u$ l'ensemble des cartes.
La valeur de la carte numéro $0$ est appelée $u_0$.
La valeur de la carte numéro $1$ est appelée $u_1$.
La valeur de la carte numéro $2$ est appelée $u_2$.
....
La valeur de la carte numéro $\boldsymbol n$ est appelée $\boldsymbol{u_n}$.

Ici on a: $u_0=5$, $u_1=-1,3$, $u_2=\pi$

La suite correspond à l'ensemble des cartes et se note $\boldsymbol u$ ou $\boldsymbol{ (u_n)}$.
Ne pas confondre $(u_n)$ et $u_n$

Mathématiquement

Deux façons classiques de définir une suite :

• A l'aide d'une formule explicite

• A l'aide d'une formule de récurrence

Exercice 1: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

Dans chaque cas, déterminer les trois premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$ \color{red}{\textbf{a. }} \ u_n={n^2-n+2}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & 2u_n+3 \end{array} \right.$

Exercice 2: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left \{ \begin{array}{r c l} u_1 & = & 7\\ u_{n+1} & = & 2u_n-3 \end{array} \right.$

Déterminer: $ \color{red}{\textbf{a. }} u_2$ $\color{red}{\textbf{b. }} u_0$

Exercice 3: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

Dans chaque cas, déterminer les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$ \color{red}{\textbf{a. }} u_n=\dfrac{n-2}{n+1}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & {u_n}^2+2 \end{array} \right.$ $\color{red}{\textbf{c. }} \left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_1 & = & 3\\ u_{n+2} & = & u_{n+1}-u_n \end{array} \right.$

Exercice 4: Mode de génération d'une suite

Pour chacune des suites définies ci-dessous, calculer à la main le terme demandé puis vérifier à la calculatrice.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{(-2)^n}{n+1}$. Calculer $u_5$.
Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=v_n (v_n - 1) -2$ et $v_0 = 2$. Calculer $v_3$.
Pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}= (n+1)w_n$ et $w_0 = 1$. Calculer $w_4$.

Exercice 5: Définir une suite par récurrence et par une formule explicite

Pour chacune des suites proposées ci-dessous, donner une formule explicite pour $u_n$ en fonction de $n$ et une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

$(u_n)$ est la suite des entiers pairs : $u_0 = 0, \, u_1 = 2, \, u_2 = 4, \, u_3 = 6, \, \ldots$
$(v_n)$ est la suite des entiers impairs : $v_0 = 1, \, v_1 = 3, \, v_2 = 5, \, v_3 = 7, \, \ldots$
$(w_n)$ est la suite des carrés parfaits : $w_0 = 0, \, w_1 = 1, \, w_2 = 4, \, w_3 = 9, \, w_4 = 16, \, \ldots$

Exercice 6: Suite définie par récurrence - $u_n=an^2+bn+c$

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = u_n + 4n - 6$ avec $u_0 = 1$.

Calculer à la main $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Vérifier vos résultats à la calculatrice puis afficher sur l'écran de votre calculatrice le nuage de points associé aux sept premiers termes de la suite. A quel type de fonction ce nuage de points fait-il penser?
On admet maintenant qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout entier naturel $n$, on ait $u_n = an^2 + bn +c$. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.
Vous assurer alors que la suite $(an^2 + bn +c)$ obtenue vérifie la relation de récurrence qui définit la suite $(u_n)$.

Exercice 7: Suite périodique

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 3-u_n$ et $u_0 = -1$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Soit $n$ un entier naturel, conjecturer les valeurs de $u_{2n}$ et de $u_{2n+1}$.
Démontrer maintenant que, quelle que soit la valeur de $u_0$, on a pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_n$.

Exercice 8: fonction termes d'une suite en python - boucle range & liste - bac 2023

Soit la suite $(p_n)$ définie par $p_0=0,3$ et pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=0,3+0,7{p_n}^2$.
Écrire une fonction en Python qui renvoie la liste des $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$.

Exercice 9: Suite et pourcentage - Traduire une situation

Traduire chacune des situations suivantes à l'aide d'une suite $(u_n)$. Pour cela, déterminer le terme initial et une relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$.

Tous les ans, un arbre pousse de 30 cm.
Un livre coûte cette année 12€. Son prix augmente de 7% par an tous les ans.
Un livre coûte cette année 12€. Son prix baisse de 7% par an tous les ans.
Chaque année, une ville de 100 000 habitants a sa population qui augmente de 4 % par accroissement naturel et perd 3000 habitants qui déménagent.
Myriam place à la banque 350€ à intérêts composés de 4% par an.

Exercice 10: Suite définie par une formule explicite et par récurrence

On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n-n+1$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Déterminer une relation pour $n\ge 1$ entre $u_n$ et $u_{n-1}$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=2^n+n$.
1. Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
2. Quelle conjecture peut-on faire? Démontrer cette conjecture.

Exercice 11: Suite de Syracuse - Algorithmique

On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0$, entier strictement positif et
pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left \{ \begin{array}{c l} \dfrac {u_n}2 & \textbf{si $u_n$ est pair} \\ 3u_n+1 & \textbf{si $u_n$ est impair} \\ \end{array} \right.$

Calculer les neuf premiers termes de la suite lorsque $u_0=10$. Qu'observe-t-on?
Qu'observe-t-on lorsque $u_0=13$?
Quelle conjecture peut-on faire?
Écrire un algorithme pour tester cette conjecture.

Exercice 12: Suites imbriquées - Algorithmique

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par:
$u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en
utilisant une boucle Tant Que.

Exercice 13: Suite périodique

Soit la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0\ne 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n + 1}{u_n -1}$.
On admet que tous les termes de la suite sont différents de 1.

Calculer les quatre premiers termes de la suite lorsque $u_0=0$. Qu'observe-t-on?
Même question lorsque $u_0=2$.
Quelle conjecture peut-on faire?
Démontrer cette conjecture.

Exercice 14: Calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n+5$.
A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.

Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\rm A3$ pour obtenir les termes successifs de la suite $(u_n)$ ?
Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}=2n v_n+5$.
A l'aide d'un tableur, déterminer les premiers termes de la suite $(v_n)$.

Exercice 15: Suite et algorithmique - Piège très Classique

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\frac {n+1}{2n+4}\right)u_n$.
On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0. Compléter l'algorithme ci-dessous, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.

$n ~\leftarrow ~0^{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~1$
Tant que $\dots$
$n ~\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
Fin Tant que
Afficher $n_{\scriptsize \strut}$

Exercice 16: Suite de Fibonacci - algorithmique - Programmation Python

On définit la suite de réels $(a_n)$ par $\left \{ \begin{array}{c l} a_0 & = 0 \\ a_1 & = 1 \\ a_{n+1} & = a_n+a_{n-1} \text{ pour tout entier }n\geqslant 1. \end{array} \right.$
On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

Calculer $a_2$, $a_3$ et $a_4$.
Écrire un algorithme qui calcule et affiche $a_{20}$.

Suite - Définition - Formule explicite et par récurrence