suite arithmétique - définition et propriétés

Suite arithmétique

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♦ Cours en vidéo: Ce qu'il faut savoir sur les suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite est arithmétique
$\Updownarrow$
lorsqu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre.

Ce nombre est appelé la raison de la suite,
et on le note souvent $\boldsymbol r$.
$\boldsymbol{u_{n+1}=}$

Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
$\Updownarrow$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$.

Ecrire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
signifie
qu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\boldsymbol{u_{n}=}$

Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
$\Updownarrow$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_0+n\times r}$.

Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
pour passer de $u_0$ à $u_n$, on rajoute $n$ fois $r$.
Donc $u_n=u_0+n\times r$.

Il ne faut pas apprendre cette formule,
mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!
$\boldsymbol{u_{n}=u_1+}$

Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
$\Updownarrow$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_1+(n-1)\times r}$.

Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
pour passer de $u_1$ à $u_n$, on rajoute $n-1$ fois $r$.
Donc $u_n=u_1+(n-1)\times r$.

Il ne faut pas apprendre cette formule,
mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!
$\boldsymbol{u_{n}=u_2+}$

Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
$\Updownarrow$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_2+(n-2)\times r}$.

Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
pour passer de $u_2$ à $u_n$, on rajoute $n-2$ fois $r$.
Donc $u_n=u_2+(n-2)\times r$.

Il ne faut pas apprendre cette formule,
mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!
Montrer qu'une suite est arithmétique

Technique 1: On remarque que $u_n=an+b$

On peut directement conclure que la suite
est arithmétique de raison $a$.

La raison est le nombre qui multiplie $n$.

Technique 2: On calcule $u_{n+1}-u_n$

On vérifie que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}-u_n$ est égal à une constante.

Dans ce cas, la suite est arithmétique.
Et la raison est égale à cette constante.
Sens de variation

Soit une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$:
• Si $r\gt 0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
• Si $r\lt 0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
• Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante.
Graphiquement

Lorsqu'on représente une suite arithmétique
avec $n$ en abscisse et $u_n$ en ordonnée,
les points sont alignés.

La raison $\boldsymbol{r}$ est le coefficient directeur de la droite.
$\boldsymbol{u_0}$ est l'ordonnée à l'origine.
Conseil

Penser à calculer les premiers termes. Cela permet:

Si la suite est arithmétique d'avoir une idée de la raison.
Si la suite n'est pas arithmétique, de le prouver

Si par exemple:
$u_0=2$, $u_1=5$ et $u_2=9$
Cette suite n'est pas arithmétique
car pour passer de $u_0$ à $u_1$ on rajoute 3
alors que pour passer de $u_1$ à $u_2$ on rajoute 4.
On ne rajoute donc pas toujours le même nombre,
donc la suite n'est pas arithmétique.

Limite d'une suite arithmétique

♦ Limite d'une suite arithmétique expliqué en vidéo

Si $\boldsymbol{r\gt 0}$

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$
alors
\[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=+\infty}\]

On retrouve ce résultat graphiquement:

Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$

On retrouve que
lorsque $n$ tend vers $+\infty$
$u_n$ tend vers $+\infty$.
Si $\boldsymbol{r\lt 0}$

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$
alors
\[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=-\infty}\]

On retrouve ce résultat graphiquement:

Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$

On retrouve que
lorsque $n$ tend vers $+\infty$
$u_n$ tend vers $-\infty$.

Exercices 1:

Reconnaitre une suite arithmétique

Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont arithmétiques.
Dans ce cas, indiquer alors la raison et le premier terme.
a) $a_n=3n-2$ b) $b_n=\frac{2n+3}4$ c) $c_n=(n+1)^2-n^2$ d) $d_n=n^2+n$

Exercices 2:

Reconnaitre une suite arithmétique

Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont arithmétiques.
Dans l'affirmative, indiquer alors la raison et le premier terme.
a) $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 4 \\ u_{n+1}=-0.9+ u_n \end{array} \right.$ b) $\left\{ \begin{array}{l} v_0 = 4 \\ v_{n+1}=3+ \frac{1}{2}v_n \end{array} \right.$ c) $w_n=\frac{3}{n+2}$ d) $t_n=\frac{n^2-1}{n+1}$
e) La suite des multiples de 4

Exercices 3:

Suite arithmétique : trouver la raison et calculer des termes

1) La suite $(u_n)$ est arithmétique. $u_0=-2$ et $r=5$. Déterminer $u_{15}$.
2) La suite $(v_n)$ est arithmétique. $v_{6}=4$ et $r=-3$. Déterminer $v_{15}$.
3) La suite $(w_n)$ est arithmétique. $w_4=2$ et $w_{10}=14$. Déterminer la raison $r$ et $w_{0}$.
4) La suite $(t_n)$ est arithmétique. $t_2+t_3+t_4=12$. Déterminer $t_3$.

Exercices 4:

Suite définie à l'aide d'un tableur

On a obtenu avec un tableur les termes consécutifs d'une suite $(u_n)$.

1) Que peut-on conjecturer concernant cette suite?
2) Quelle est la valeur de la cellule A1 et A100?

Exercices 5:

Dénombrer à l'aide d'une suite arithmétique

On considère l'intervalle I=[17;154].
1) Combien I contient-il de nombres entiers?
2) Combien I contient-il de nombres pairs?
3) Combien I contient-il de multiples de 4?

Exercices 6:

Suite définie à l'aide d'un algorithme

La suite $u$ est définie par l'algorithme suivant:

1) Si $n=3$, quelle valeur sera affichée?
2) La suite $u$ est-elle arithmétique? Dans l'affirmative, quelle est son premier terme et sa raison?

Exercices 7:

Associer à une suite le graphique qui lui correspond

On a représenté trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.

Préciser si ces suites sont arithmétiques. Justifier.
Dans l'affirmative, indiquer la raison et le 1\ier{} terme ainsi que le terme d'indice 50.

Exercices 8:

Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0$=1 et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{3+{u_n}^2}$.
On admet que la suite $(u_n)$ a tous ses termes positifs.
1) Démontrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2) Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n^2$.
Démontrer que $(v_n)$ est arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.
3) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
4) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Corrigé en vidéo

Exercices 9:

Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+2u_n}$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n\neq 0$.
On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{1}{u_n}$.
a) Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
b) Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
c) En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ puis celle de $u_n$.

Exercices 10:

Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite

On considère la suite $(u_n)_{n \in\mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1} = u_n + 2n - 1 $ et $u_0 = 3$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - n^2$.
a) Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
b) Montrer que la suite $(v_n)_{n \in\mathbb{N}}$ est arithmétique.
c) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
d) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

Exercices 11:

Somme et produit de $u_0$ et de $u_1$ d'une suite arithmétique

La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative.
On sait que la somme des deux premiers termes vaut $\dfrac{5}{6}$.
Le produit des deux premiers termes vaut $\dfrac{1}{16}$.
Déterminer pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.

Exercices 12:

Somme et produit de $u_0$, $u_1$ et $u_2$ d'une suite arithmétique

La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative. On sait que la somme des trois premiers termes vaut $81$ et que leur produit vaut 18 360.
1) On note $r$ la raison de cette suite. Exprimer $u_0$ et $u_2$ en fonction de $u_1$ et $r$.
2) Montrer que l'on a : $\begin{cases} 3u_1 & = 81\\ u_1^3 - r^2u_1 &= 18360 \end{cases}$
3) En déduire la valeur de $u_1$ et de $r$.
4) Calculer $u_{40}$.

Exercices 13:

Retrouver $u_0$ et $r$ sans indication

La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_4 = 1$ et $ \dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = 2$.
Déterminer $u_0$ et la raison $r$.

Exercices 14:

Somme des entiers impairs

Soit $n$ un entier naturel non nul.
Démontrer que la somme des $n$ premiers entiers naturels impairs est un carré parfait.

Exercices 15:

Poignées de mains

Dans une réunion, $25$ personnes sont présentes et elles se sont toutes serré la main pour se saluer. Combien de poignées de mains ont été échangées ?
Dans une autre réunion, $496$ poignées de mains ont été échangées. Sachant que tout le monde s'est salué, combien de personnes étaient présentes à cette réunion ?