Suite arithmétique Première spé maths : cours, raison, formule et variation

Conseils

Suites arithmétiques

Dans cette page, tu vas découvrir ce qu'est une suite arithmétique, sa raison et les formules permettant de calculer ses termes.

👉 reconnaître une suite arithmétique ;
👉 comprendre et déterminer sa raison ;
👉 calculer un terme à partir d'un autre terme ;
👉 déterminer le terme général $u_n$ ;
👉 étudier son sens de variation et sa représentation graphique.

Tu trouveras le cours en vidéo et de nombreux exercices corrigés en vidéo pour t'entraîner et vérifier que tu as bien compris.

📌 Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre est appelé la raison de la suite et on le note généralement $r$.

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👉 Option 1 : Commence par un exercice guidé en vidéo pour découvrir les suites arithmétiques en situation.

📺 Exercice guidé pour comprendre les suites arithmétiques 👇

👉 Option 2 : Regarde d'abord le cours complet, puis entraîne-toi avec les exercices.

📺 COURS : comprendre les suites arithmétiques 👇

🎯 Cours : une suite arithmétique, c'est quoi ?

Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

👉 Ce nombre est appelé la raison de la suite et on le note généralement $\boldsymbol{r}$.

Ainsi, dire que $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ signifie que, pour tout entier naturel $n$ : \[ \boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}. \]

Autrement dit, pour passer de $\boldsymbol{u_n}$ à $\boldsymbol{u_{n+1}}$, on ajoute $\boldsymbol{r}$.

📺 COURS : comprendre ce qu'est une suite arithmétique 👇

🎯 Calculer un terme d'une suite arithmétique

Comme avec une suite arithmétique, on ajoute toujours la raison $r$ pour passer d'un terme au suivant, on peut retrouver facilement les formules en faisant le schéma ci-dessous :

👉 Pour passer de $\boldsymbol{u_0}$ à $\boldsymbol{u_n}$, on ajoute $\boldsymbol{n}$ fois $\boldsymbol{r}$ :

\[ \boldsymbol{u_n=u_0+n\times r} \]

👉 Pour passer de $u_1$ à $u_n$, on ajoute $n-1$ fois $r$ :

\[ \boldsymbol{u_n=u_1+(n-1)\times r}. \]

👉 Pour passer de $u_2$ à $u_n$, on ajoute $n-2$ fois $r$ :

\[ \boldsymbol{u_n=u_2+(n-2)\times r}. \]

👉 Plus généralement, on a :

\[ \boldsymbol{u_n=u_p+(n-p)\times r}. \]

💡 Conseil : Ne pas apprendre ces formules par cœur. Mais faire les schémas pour les retrouver !

📺 Exercice pour savoir appliquer les formules 👇

🎯 Montrer qu'une suite est arithmétique

Il y a deux méthodes classiques à connaître.

👉 Méthode 1 : reconnaître une expression de la forme $\boldsymbol{u_n=an+b}$
Si $\boldsymbol{u_n=an+b}$, alors on peut directement conclure que la suite est arithmétique de raison $\boldsymbol{a}$. La raison est donc le nombre qui multiplie $n$, ici $a$.

👉 Méthode 2 : calculer $\boldsymbol{u_{n+1}-u_n}$
Si $\boldsymbol{u_{n+1}-u_n}$ est égal à une constante (nombre indépendant de $n$), alors la suite est arithmétique et cette constante est sa raison. \[ u_{n+1}-u_n=r. \]
👉 Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique :
Il suffit de calculer 3 termes consécutifs et de constater que les différences entre deux termes consécutifs ne sont pas les mêmes.

📺 Montrer qu'une suite est arithmétique : les 2 méthodes 👇

🎯 Sens de variation d'une suite arithmétique

Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend uniquement du signe de sa raison $r$ :

si $r\gt0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante ;
si $r\lt0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante ;
si $r=0$, alors $(u_n)$ est constante.

📺 Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique 👇

🎯 Représentation graphique d'une suite arithmétique

Lorsqu'on représente une suite arithmétique avec $n$ en abscisse et $u_n$ en ordonnée, les points sont alignés.

👉 La raison $\boldsymbol r$ correspond au coefficient directeur de la droite.
👉 $\boldsymbol{u_0}$ correspond à l'ordonnée à l'origine.

📺 Comprendre graphiquement les suites arithmétiques 👇

🎯 Conseil : Pense à calculer les premiers termes

💡 Quand tu étudies une suite, pense à calculer ses premiers termes.

Cela permet souvent :
👉 de voir si la suite semble arithmétique ou non ;
👉 si elle semble arithmétique, de conjecturer sa raison.

Attention : connaître les premiers termes permet de faire une conjecture, mais pour démontrer qu'une suite est arithmétique, il faut ensuite utiliser une des deux méthodes de la section "🎯 Montrer qu'une suite est arithmétique".

📌 À retenir sur les suites arithmétiques :

Les deux formules de base sont : \[ \boxed{u_{n+1}=u_n+r} \] \[ \boxed{u_n=u_0+nr} \] où $r$ est la raison de la suite arithmétique.

💡 Pas besoin d'apprendre ces formules par cœur !
Tu peux facilement les retrouver à l'aide du schéma suivant.
S'il y a une chose à retenir, c'est donc ce schéma :

📺 Cours complet : suites arithmétiques 👇

Exercice 1 : suite arithmétique - Calculer les premiers termes

Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=5$ et de raison $3$. Déterminer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
Soit la suite arithmétique $(v_n)$ de raison $0,5$ telle que $v_3=7$. Déterminer $v_0$, $v_1$, $v_2$.