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Suite arithmétique


Suite arithmétique

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Cours en vidéo: Ce qu'il faut savoir sur les suites arithmétiques Cours de math en vidéo
  • Suite arithmétique
    Une suite est arithmétique
    $\Updownarrow$
    lorsqu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre.
    Ce nombre est appelé la raison de la suite,
    et on le note souvent $\boldsymbol r$.



  • $\boldsymbol{u_{n+1}=}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$.
    Ecrire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    signifie
    qu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.


  • $\boldsymbol{u_{n}=}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_0+n\times r}$.
    Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_0$ à $u_n$, on rajoute $n$ fois $r$.
    Donc $u_n=u_0+n\times r$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • $\boldsymbol{u_{n}=u_1+}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_1+(n-1)\times r}$.
    Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_1$ à $u_n$, on rajoute $n-1$ fois $r$.
    Donc $u_n=u_1+(n-1)\times r$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • $\boldsymbol{u_{n}=u_2+}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_2+(n-2)\times r}$.
    Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_2$ à $u_n$, on rajoute $n-2$ fois $r$.
    Donc $u_n=u_2+(n-2)\times r$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • Montrer qu'une suite est arithmétique
    Technique 1: On remarque que $u_n=an+b$
    On peut directement conclure que la suite
    est arithmétique de raison $a$.
    La raison est le nombre qui multiplie $n$.

    Technique 2: On calcule $u_{n+1}-u_n$
    On vérifie que pour tout entier naturel $n$,
    $u_{n+1}-u_n$ est égal à une constante.
    Dans ce cas, la suite est arithmétique.
    Et la raison est égale à cette constante.


  • Sens de variation
    Soit une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$:
    • Si $r\gt 0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
    • Si $r\lt 0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
    • Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante.

  • Graphiquement
    Lorsqu'on représente une suite arithmétique
    avec $n$ en abscisse et $u_n$ en ordonnée,
    les points sont alignés.
    La raison $\boldsymbol{r}$ est le coefficient directeur de la droite.
    $\boldsymbol{u_0}$ est l'ordonnée à l'origine.

           

  • Conseil
    Penser à calculer les premiers termes. Cela permet:
    Si la suite est arithmétique d'avoir une idée de la raison.
    Si la suite n'est pas arithmétique, de le prouver
    Si par exemple:
    $u_0=2$, $u_1=5$ et $u_2=9$
    Cette suite n'est pas arithmétique
    car pour passer de $u_0$ à $u_1$ on rajoute 3
    alors que pour passer de $u_1$ à $u_2$ on rajoute 4.
    On ne rajoute donc pas toujours le même nombre,
    donc la suite n'est pas arithmétique.





Limite d'une suite arithmétique

Limite d'une suite arithmétique expliqué en vidéo Cours de math en vidéo
  • Si $\boldsymbol{r\gt 0}$
    Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$
    alors
    \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=+\infty}\]

    On retrouve ce résultat graphiquement:

    Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$

    On retrouve que
    lorsque $n$ tend vers $+\infty$
    $u_n$ tend vers $+\infty$.

  • Si $\boldsymbol{r\lt 0}$
    Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$
    alors
    \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=-\infty}\]

    On retrouve ce résultat graphiquement:

    Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$

    On retrouve que
    lorsque $n$ tend vers $+\infty$
    $u_n$ tend vers $-\infty$.




Exercices 1:

suite arithmétique - Calculer les premiers termes


  1. Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=5$ et de raison $3$. Déterminer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
  2. Soit la suite arithmétique $(v_n)$ de raison $0,5$ telle que $v_3=7$. Déterminer $v_0$, $v_1$, $v_2$.
Exercices 2:

suite arithmétique - Déterminer le terme général Un en fonction de n


$(u_n)$ est une suite arithmétique. Dans chaque cas, déterminer $u_n$ en fonction $n$ puis $u_{100}$:
$\color{red}{\textbf{a. }} u_0=-10$ et la raison $r=4$ $\color{red}{\textbf{b. }} u_1=7$ et la raison $r=-2$
Exercices 3:

Suite arithmétique - déterminer la raison et le premier terme


$(u_n)$ est une suite arithmétique. On sait que $u_3=11$ et $u_7=27$. Déterminer sa raison $r$ et $u_0$.
Exercices 4:

Montrer qu'une suite n'est pas arithmétique


La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=n^2+1$. Expliquer pourquoi cette suite n'est pas arithmétique.
Exercices 5:

suite arithmétique - terme général - Déterminer u0 connaissant la raison


$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-3$. Déterminer $u_0$ sachant que $u_{50}=7$.
Exercices 6:

suite arithmétique - Déterminer le sens de variation


$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$. Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$:
$\color{red}{\textbf{a. }} u_0=3$ et $r=2$ $\color{red}{\textbf{b. }} u_0=-3$ et $r=-2$ $\color{red}{\textbf{c. }} u_0=3$ et $r=-2$ $\color{red}{\textbf{d. }} u_0=-3$ et $r=2$
Exercices 7:

suite arithmétique - Déterminer le sens de variation


Dans chaque cas, déterminer le sens de variation la suite $(u_n)$:
$\color{red}{\textbf{a. }} u_n=-3+5n$ $\color{red}{\textbf{b. }} u_n=3-5n$ $\color{red}{\textbf{c. }} u_n=\dfrac{5-4n}{7}$
Exercices 8:

représenter une suite arithmétique


$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_0=-5$. Placer dans ce repère les cinq premiers points de la représentation de la suite $(u_n)$.
Exercices 9:

représenter une suite arithmétique


On a représenté les premiers termes d'une suite arithmétique $(u_n)$.
  1. Déterminer $u_0$ et la raison $r$ de cette suite.
  2. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercices 10:

représenter une suite arithmétique


On a représenté les premiers termes d'une suite $(u_n)$:
  1. Déterminer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
  2. Cette suite peut-elle être arithmétique ?
Exercices 11:

Reconnaitre une suite arithmétique


Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont arithmétiques.
Dans ce cas, indiquer alors la raison et le premier terme.
a) $a_n=3n-2$ b) $b_n=\frac{2n+3}4$ c) $c_n=(n+1)^2-n^2$ d) $d_n=n^2+n$
Exercices 12:

Reconnaitre une suite arithmétique


Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont arithmétiques.
Dans l'affirmative, indiquer alors la raison et le premier terme.
a) $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 4 \\ u_{n+1}=-0.9+ u_n \end{array} \right.$ b) $\left\{ \begin{array}{l} v_0 = 4 \\ v_{n+1}=3+ \frac{1}{2}v_n \end{array} \right.$ c) $w_n=\frac{3}{n+2}$ d) $t_n=\frac{n^2-1}{n+1}$
e) La suite des multiples de 4
Exercices 13:

Suite arithmétique : trouver la raison et calculer des termes


1) La suite $(u_n)$ est arithmétique. $u_0=-2$ et $r=5$. Déterminer $u_{15}$.
2) La suite $(v_n)$ est arithmétique. $v_{6}=4$ et $r=-3$. Déterminer $v_{15}$.
3) La suite $(w_n)$ est arithmétique. $w_4=2$ et $w_{10}=14$. Déterminer la raison $r$ et $w_{0}$.
4) La suite $(t_n)$ est arithmétique. $t_2+t_3+t_4=12$. Déterminer $t_3$.
Exercices 14:

Suite définie à l'aide d'un tableur


On a obtenu avec un tableur les termes consécutifs d'une suite $(u_n)$.

1) Que peut-on conjecturer concernant cette suite?
2) Quelle est la valeur de la cellule A1 et A100?
Exercices 15:

Dénombrer à l'aide d'une suite arithmétique


On considère l'intervalle I=[17;154].
1) Combien I contient-il de nombres entiers?
2) Combien I contient-il de nombres pairs?
3) Combien I contient-il de multiples de 4?
Exercices 16:

Suite définie à l'aide d'un algorithme


La suite $u$ est définie par l'algorithme suivant:

1) Si $n=3$, quelle valeur sera affichée?
2) La suite $u$ est-elle arithmétique? Dans l'affirmative, quelle est son premier terme et sa raison?
Exercices 17:

Associer à une suite le graphique qui lui correspond


On a représenté trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.

Préciser si ces suites sont arithmétiques. Justifier.
Dans l'affirmative, indiquer la raison et le 1\ier{} terme ainsi que le terme d'indice 50.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STMG depuis 17 ans
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