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Suite arithmétique
Suite arithmétique
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♦ Cours en vidéo: Ce qu'il faut savoir sur les suites arithmétiques
Suite arithmétique
Une suite est arithmétique
$\Updownarrow$
lorsqu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre.
Ce nombre est appelé la raison de la suite,
et on le note souvent $\boldsymbol r$.
$\boldsymbol{u_{n+1}=}$
Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
$\Updownarrow$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$.
Ecrire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
signifie
qu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\boldsymbol{u_{n}=}$
Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
$\Updownarrow$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_0+n\times r}$.
Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
pour passer de $u_0$ à $u_n$, on rajoute $n$ fois $r$.
Donc $u_n=u_0+n\times r$.
Il ne faut pas apprendre cette formule,
mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!
$\boldsymbol{u_{n}=u_1+}$
Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
$\Updownarrow$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_1+(n-1)\times r}$.
Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
pour passer de $u_1$ à $u_n$, on rajoute $n-1$ fois $r$.
Donc $u_n=u_1+(n-1)\times r$.
Il ne faut pas apprendre cette formule,
mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!
$\boldsymbol{u_{n}=u_2+}$
Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
$\Updownarrow$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
$\Updownarrow$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_2+(n-2)\times r}$.
Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
pour passer de $u_2$ à $u_n$, on rajoute $n-2$ fois $r$.
Donc $u_n=u_2+(n-2)\times r$.
Il ne faut pas apprendre cette formule,
mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!
Montrer qu'une suite est arithmétique
Technique 1: On remarque que $u_n=an+b$
On peut directement conclure que la suite est arithmétique de raison $a$.
La raison est le nombre qui multiplie $n$.
Technique 2: On calcule $u_{n+1}-u_n$
On vérifie que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}-u_n$ est égal à une constante.
Dans ce cas, la suite est arithmétique.
Et la raison est égale à cette constante.
Sens de variation
Soit une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$:
• Si $r\gt 0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
• Si $r\lt 0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
• Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante.
Graphiquement
Lorsqu'on représente une suite arithmétique
avec $n$ en abscisse et $u_n$ en ordonnée,
les points sont alignés.
La raison $\boldsymbol{r}$ est le coefficient directeur de la droite.
$\boldsymbol{u_0}$ est l'ordonnée à l'origine.
Conseil
Penser à calculer les premiers termes. Cela permet:
Si la suite est arithmétique d'avoir une idée de la raison.
Si la suite n'est pas arithmétique, de le prouver
Si par exemple:
$u_0=2$, $u_1=5$ et $u_2=9$
Cette suite n'est pas arithmétique
car pour passer de $u_0$ à $u_1$ on rajoute 3
alors que pour passer de $u_1$ à $u_2$ on rajoute 4.
On ne rajoute donc pas toujours le même nombre,
donc la suite n'est pas arithmétique.
Limite d'une suite arithmétique
♦ Limite d'une suite arithmétique
expliqué en vidéo
Si $\boldsymbol{r\gt 0}$
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$ alors \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=+\infty}\]
On retrouve ce résultat graphiquement:
Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$
On retrouve que
lorsque $n$ tend vers $+\infty$
$u_n$ tend vers $+\infty$.
Si $\boldsymbol{r\lt 0}$
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$ alors \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=-\infty}\]
On retrouve ce résultat graphiquement:
Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$
On retrouve que
lorsque $n$ tend vers $+\infty$
$u_n$ tend vers $-\infty$.
Exercices 1:
Reconnaitre une suite arithmétique
Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont arithmétiques.
Dans ce cas, indiquer alors la raison et le premier terme. a) $a_n=3n-2$ b) $b_n=\frac{2n+3}4$ c) $c_n=(n+1)^2-n^2$ d) $d_n=n^2+n$
Exercices 2:
Reconnaitre une suite arithmétique
Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont arithmétiques.
Dans l'affirmative, indiquer alors la raison et le premier terme. a) $\left\{
\begin{array}{l}
u_0 = 4 \\
u_{n+1}=-0.9+ u_n
\end{array}
\right.$
b) $\left\{
\begin{array}{l}
v_0 = 4 \\
v_{n+1}=3+ \frac{1}{2}v_n
\end{array}
\right.$
c) $w_n=\frac{3}{n+2}$ d) $t_n=\frac{n^2-1}{n+1}$ e) La suite des multiples de 4
Exercices 3:
Suite arithmétique : trouver la raison et calculer des termes
1) La suite $(u_n)$ est arithmétique. $u_0=-2$ et $r=5$. Déterminer $u_{15}$.
2) La suite $(v_n)$ est arithmétique. $v_{6}=4$ et $r=-3$. Déterminer $v_{15}$.
3) La suite $(w_n)$ est arithmétique. $w_4=2$ et $w_{10}=14$. Déterminer la raison $r$ et $w_{0}$.
4) La suite $(t_n)$ est arithmétique. $t_2+t_3+t_4=12$. Déterminer $t_3$.
Exercices 4:
Suite définie à l'aide d'un tableur
On a obtenu avec un tableur les termes consécutifs d'une suite $(u_n)$.
1) Que peut-on conjecturer concernant cette suite?
2) Quelle est la valeur de la cellule A1 et A100?
Exercices 5:
Dénombrer à l'aide d'une suite arithmétique
On considère l'intervalle I=[17;154].
1) Combien I contient-il de nombres entiers?
2) Combien I contient-il de nombres pairs?
3) Combien I contient-il de multiples de 4?
Exercices 6:
Suite définie à l'aide d'un algorithme
La suite $u$ est définie par l'algorithme suivant:
1) Si $n=3$, quelle valeur sera affichée?
2) La suite $u$ est-elle arithmétique? Dans l'affirmative, quelle est son premier terme et sa raison?
Exercices 7:
Associer à une suite le graphique qui lui correspond
On a représenté trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
Préciser si ces suites sont arithmétiques. Justifier.
Dans l'affirmative, indiquer la raison et le 1\ier{} terme ainsi que le terme d'indice 50.
Exercices 8:
Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0$=1 et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{3+{u_n}^2}$.
On admet que la suite $(u_n)$ a tous ses termes positifs.
1) Démontrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2) Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n^2$.
Démontrer que $(v_n)$ est arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.
3) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
4) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé en vidéo
Exercices 9:
Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+2u_n}$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n\neq 0$.
On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{1}{u_n}$.
a) Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
b) Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
c) En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ puis celle de $u_n$.
Exercices 10:
Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite
On considère la suite $(u_n)_{n \in\mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1} = u_n + 2n - 1 $ et $u_0 = 3$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - n^2$.
a) Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
b) Montrer que la suite $(v_n)_{n \in\mathbb{N}}$ est arithmétique.
c) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
d) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
Exercices 11:
Somme et produit de $u_0$ et de $u_1$ d'une suite arithmétique
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative.
On sait que la somme des deux premiers termes vaut $\dfrac{5}{6}$.
Le produit des deux premiers termes vaut $\dfrac{1}{16}$.
Déterminer pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
Exercices 12:
Somme et produit de $u_0$, $u_1$ et $u_2$ d'une suite arithmétique
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative. On sait que la somme des trois premiers termes vaut $81$ et que leur produit vaut 18 360.
1) On note $r$ la raison de cette suite. Exprimer $u_0$ et $u_2$ en fonction de $u_1$ et $r$.
2) Montrer que l'on a :
$\begin{cases}
3u_1 & = 81\\
u_1^3 - r^2u_1 &= 18360
\end{cases}$
3) En déduire la valeur de $u_1$ et de $r$.
4) Calculer $u_{40}$.
Exercices 13:
Retrouver $u_0$ et $r$ sans indication
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_4 = 1$ et $ \dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = 2$.
Déterminer $u_0$ et la raison $r$.
Exercices 14:
Somme des entiers impairs
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Démontrer que la somme des $n$ premiers entiers naturels impairs est un carré parfait.
Exercices 15:
Poignées de mains
Dans une réunion, $25$ personnes sont présentes et elles se sont toutes serré la main pour se saluer. Combien de poignées de mains ont été échangées ?
Dans une autre réunion, $496$ poignées de mains ont été échangées. Sachant que tout le monde s'est salué, combien de personnes étaient présentes à cette réunion ?
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