Suite arithmétique : problèmes & exercices plus difficiles

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0$=1 et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{3+{u_n}^2}$.
On admet que la suite $(u_n)$ a tous ses termes positifs.

1. Démontrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n^2$.
   Démontrer que $(v_n)$ est arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.
3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+2u_n}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n\neq 0$. On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{1}{u_n}$.
   1. Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
   2. Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
   3. En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ puis celle de $u_n$.

On considère la suite $(u_n)_{n \in\mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1} = u_n + 2n - 1 $ et $u_0 = 3$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - n^2$.
   1. Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
   2. Montrer que la suite $(v_n)_{n \in\mathbb{N}}$ est arithmétique.
   3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
   4. En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative.
On sait que la somme des deux premiers termes vaut $\dfrac{5}{6}$. Le produit des deux premiers termes vaut $\dfrac{1}{16}$.
Déterminer pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.

La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative. On sait que la somme des trois premiers termes vaut $81$ et que leur produit vaut 18 360.

1. On note $r$ la raison de cette suite. Exprimer $u_0$ et $u_2$ en fonction de $u_1$ et $r$.
2. Montrer que l'on a : $\begin{cases} 3u_1 & = 81\\ u_1^3 - r^2u_1 &= 18360 \end{cases}$
3. En déduire la valeur de $u_1$ et de $r$.
4. Calculer $u_{40}$.

La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_4 = 1$ et $ \dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = 2$.
Déterminer $u_0$ et la raison $r$.

Soit $n$ un entier naturel non nul.
Démontrer que la somme des $n$ premiers entiers naturels impairs est un carré parfait.

1. Dans une réunion, $25$ personnes sont présentes et elles se sont toutes serré la main pour se saluer. Combien de poignées de mains ont été échangées ?
2. Dans une autre réunion, $496$ poignées de mains ont été échangées. Sachant que tout le monde s'est salué, combien de personnes étaient présentes à cette réunion ?