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Exercices 1: Loi de probabilité - Espérance - Première S - ES - STI
On vous propose le jeu suivant:
Pour jouer, il faut payer 2€. Ensuite, on lance 3 fois de suite une pièce bien équilibrée. Chaque pile
rapporte 3€ et chaque face fait perdre 2€.
On considère la variable aléatoire G égale au gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de
probabilité de G et son espérance.
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Exercices 2: Variable aléatoire - Loi de probabilité - Espérance - Première S -
ES - STI
Vous attaquez en justice un promoteur pour malfaçon. Si vous gagnez le procès, vous toucherez 100 000€ .
Vous avez le choix entre deux avocats:
Le premier réclame 12 000€ d'honoraires fixes. Le second demande 30% de la somme si vous gagnez et rien
sinon. Chaque avocat a 80% de chances de gagner le procès.
Quel avocat choisir de façon à maximiser votre espérance de gain?
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Exercices 4: Loi de probabilité de l'écart de 2 dés • Espérance • Première S -
ES - STI
On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à
6.
On note X la variable aléatoire égale à l'écart entre les deux nombres sortis.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Déterminer l'espérance de X. Interpréter.
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Exercices 5: Loi de probabilité du maximum de 2 dés - espérance - Première S -
ES - STI
On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à
6.
On note X la variable aléatoire égale au plus grand des deux nombres sortis.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Déterminer l'espérance de X. Interpréter.
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Exercices 6: Paradoxe de l'espérance - Loi de probabilité - variable
aléatoire
On vous propose le jeu suivant:
Vous lancez deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Si vous obtenez un double six, vous gagnez 1 millions d'euros sinon vous perdez 10000 euros.
Que faîtes-vous? Justifier.
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Exercices 8: Probabilité avec un dé truqué
On lance un dé truqué à $6$ faces numérotées de 1 à 6. Les faces de 1 à 5 ont la
même probabilité de sortir. La probabilité de la face 6 est le double de la probabilité de la face
5.
On note $\rm X$ la variable aléatoire égale au numéro sorti.
1) Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.
2) Déterminer $\rm E(X)$.
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Exercices 9: Probabilité - Nombre de chiffres bien placés dans un code
Rose a oublié le code de son cadenas composé de 3 chiffres compris entre 0 et
9.
Elle essaye une combinaison au hasard.
On note X la variable aléatoire indiquant le nombre de chiffres bien placés.
Déterminer la loi de probabilité de X puis son espérance.
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Exercices 10: Savoir calculer la variance et l'écart-type d'une variable
aléatoire
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par:
$x_i$ |
0 |
20 |
5 |
15 |
${\rm P(X=}x_i)$ |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
-
Déterminer son espérance ${\rm E(X)}$. Interpréter.
- Déterminer sa variance ${\rm V(X)}$ et son écart-type $\sigma({\rm X})$.
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Exercices 11: Probabilité et investissement
Un trader a analysé plusieurs scénarios quant à l'évolution de deux actions notées A et B. On note $X$
la variable aléatoire donnant l'évolution en euros de l'action A et $Y$ celle donnant l'évolution en
euros de l'action B. Voici les lois de probabilités de $X$ et de $Y$.
Valeur de $X$ |
-50 |
0 |
10 |
40 |
Probabilité |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,1 |
Valeur de $Y$ |
-30 |
10 |
30 |
Probabilité |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
-
Vérifier que $E(X) = E(Y)$. Interpréter.
- Calculer $V(X)$ et $V(Y)$.
- Le trader ne souhaite pas prendre trop de risques et décide d'investir sur l'action la moins
volatile. Quelle action lui conseillez-vous? Justifier.
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Exercices 13: Probabilité - Trouver n pour que l'espérance soit positive
Une urne contient $6$ boules blanches et $n$ boules rouges ($n$ est un nombre entier tel que $n
\geqslant 2$) toutes indiscernables au toucher.
Un joueur tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.
Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2€, et pour chaque boule rouge, il perd 3€.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
1) Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre $X$ ?
2) Montrer que $P(X = -1) = \dfrac{12n}{(n + 6)(n+5)}$.
3) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
4) Montrer que $E(X) = \dfrac{-6(n^2 + n - 20)}{(n+6)(n+5)}$.
5) Discuter selon la valeur de $n$ de l'intêret de jouer à ce jeu.
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Exercices 14: Probabilité - Espérance maximale
Un joueur pioche dans un jeu de $52$ cartes autant de cartes qu'il le désire sans les regarder.
Une fois qu'il a fini, il en prend connaissance.
S'il a tiré l'as de pique, il perd 10€. Sinon, il gagne 1€ par carte.
Combien doit-il piocher de cartes pour maximiser son gain moyen ? Combien peut-il alors espérer gagner ?
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Exercices 15: Probabilité - Espérance et diagramme de Venn (Patate)
Une entreprise fabrique des appareils susceptibles de présenter deux types de pannes notées A et
B.
On admettra que 5% des appareils sont concernés par la panne A, 3% par la panne B et 1% par les
deux.
On prélève au hasard un appareil dans la production. On note :
• A l'événement : "L'appareil présente la panne A."
• B l'événement : "L'appareil présente la panne B."
L'entreprise fabrique un grand nombre d'appareils par semaine. Chaque appareil a un coût de fabrication
de 200€. La réparation d'une panne A coûte 60 euros à l'entreprise, la réparation d'une panne B coûte 40
euros et la réparation des deux pannes coûte 100 euros.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque appareil, associe son prix de revient total (coût de
fabrication et coût de la réparation éventuelle).
1) Établir le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2) Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X. Interpréter.
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Exercices 16: Probabilité - Jeu Crown and Anchor - Un classique!
The Crown and Anchor est un jeu d'argent qui date du XVIIIième siècle qui
était pratiqué sur certains navires anglais.
Le jeu se joue avec trois dés cubiques identiques non pipés.
6 symboles sont dessinés sur les faces : un pique, un coeur, un trèfle, un carreau, une couronne et une
ancre.
Un joueur mise 10€, sur un symbole et le croupier lance les trois dés.
Si le symbole joué ne sort pas, la mise est perdue, sinon le joueur récupère sa mise et gagne en plus
autant de fois sa mise que le symbole apparaît.
Est-il intéressant de jouer un grand nombre de fois à ce jeu?
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Exercices 17: Probabilité - Comment rendre un jeu équitable
Un sac contient une bille rouge, un certain nombre de billes bleues et deux fois plus de billes noires
que de billes bleues.
Un joueur tire au hasard une bille.
Si la bille est rouge, il gagne 10€, si elle est bleue, il
gagne 3€ mais si la bille est noire, il perd 2€.
Combien faut-il mettre de billes bleues pour que le jeu soit équitable?
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Exercices 19: Probabilité - Espérance
Une urne contient une boule rouge et $n$ boules blanches.
On tire successivement et avec remise deux boules de l'urne.
- Exprimer en fonction de $n$ la probabilité des évènements suivants:
- $M$ : "Les deux boules sont de la même couleur".
- $N$ : " Les deux boules sont de couleur différente".
On pourra éventuellement s'aider d'un arbre.
- On considère le jeu suivant: le joueur perd $(n + 1)^2$ euros si $M$ est réalisé et gagne $2(n
+ 1)^2$ euros
sinon. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
- Déterminer la loi de probabilité de $X$.
- Démontrer que $\mathbb{E}(X) = -n^2 + 4n - 1$.
- Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est favorable au joueur?
- Si on laisse choisir au joueur le nombre de boules blanches, que doit-il répondre?
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Exercices 20: Probabilité - Espérance
On lance trois fois un dé bien équilibré à 6 faces, numérotées de $1$ à $6$.
On note respectivement $A$, $B$ et $C$ les résultats du premier, du deuxième et du troisième lancer.
On appelle $N$ la variable aléatoire égale au nombre de racines du trinôme $Ax^2 + Bx + C$.
Calculer espérance de $N$.
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Exercices 21: Probabilité - Espérance
Un joueur lance un dé cubique (bien équilibré) à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$.
Tant que le joueur n'obtient pas un $1$, il a le choix entre arrêter le jeu ou continuer à lancer le dé.
Il cumule alors ses résultats précédents avec le nouveau nombre obtenu sauf s'il lance un $1$.
Dans ce cas, il retombe à $0$.
a) Programmer ce jeu en Python.
b) Quelle stratégie doit-il employer pour obtenir en moyenne le meilleur score ?