variable aléatoire

Variable aléatoire - Loi de probabilité

On se place dans le cas d'un univers fini.

Comment travailler efficacement
Conseils pour le jour du bac

♦
Variable aléatoire
- Loi de probabilité : cours en vidéo

Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction de $\boldsymbol{\Omega}$ dans $\boldsymbol{\mathbb{R}}$

$\Omega$ désigne l'univers
c'est à dire toutes les issues possibles.

qui à chaque issue de l'univers associe un nombre.

Exemple:
Une urne contient 6 jetons, numérotés de 1 à 6 indiscernables au toucher.
Un joueur pioche un jeton.
Si le numéro est pair, il gagne 1€.
S'il prélève le numéro 1, il gagne 10€. Sinon il perd 4€.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

Algébrique signifie
que le gain peut être positif ou négatif.

Cela signifie qu'à chaque jeton, on associe le gain.

On a bien défini une fonction
de $\Omega$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$:
A chaque jeton $\rightarrow$ le gain.

Loi de probabilité

Pour déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

On se place dans le cas d'un univers fini..

on procède en 3 étapes:

1) On trouve toutes les valeurs que peut prendre X

Dans la suite, on appellera ces valeurs $\boldsymbol{x_1}$ ... $\boldsymbol{x_2}$

2) On détermine les probabilités correspondant à ces valeurs

c'est à dire que l'on détermine
$\boldsymbol{p({\rm X}=x_1)}$ ... $\boldsymbol{p({\rm X}=x_2)}$

3) On résume ces calculs dans un tableau

$x_i$	$x_1$	...	$x_n$
$p({\rm X}=x_i)$	$p_1$	...	$p_n$

$p_1$ désigne $\boldsymbol{p({\rm X}=x_1)}$
$p_2$ désigne $\boldsymbol{p({\rm X}=x_2)}$
etc ...

Exemple
Une urne contient 6 jetons, numérotés de 1 à 6 indiscernables au toucher.
Un joueur pioche un jeton.
Si le numéro est pair, il gagne 1€.
S'il prélève le numéro 1, il gagne 10€. Sinon il perd 4€.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

X peut donc prendre les valeurs -4, 1 et 10.
avec les probabilités:
$\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=-4)=\frac 26}$ $\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=1)=\frac 36}$ $\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=10)=\frac 16}$

On résume ces calculs dans un tableau:

$x_i$	-4	1	10
$p({\rm X}=x_i)$	$\boldsymbol{\frac 26}$	$\boldsymbol{\frac 36}$	$\boldsymbol{\frac 16}$

Bien vérifier que
la somme des probabilités sur la deuxième ligne
est égale à 1!

Espérance d'une variable aléatoire

On se place dans le cas d'un univers fini.

♦ Espérance d'une variable aléatoire: cours en vidéo

Calculer l'espérance

Si on a une variable aléatoire X avec la loi de probabilité:

$x_i$	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
$p({\rm X}=x_i)$	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

L'espérance de X, notée E(X) est égale à
$\boldsymbol{{\rm E(X)}=x_1\times p_1+x_2\times p_2+...+x_n\times p_n}$

Autrement dit
l'espérance est la moyenne pondérée des valeurs $\boldsymbol{x_i}$ par les probabilités $\boldsymbol{p_i}$.

Interpréter l'espérance

L'espérance, comme son nom l'indique
est ce qu'on peut espérer obtenir en moyenne sur un grand nombre de répétitions.

Par exemple si l'espérance de gain à un jeu en euro vaut 3,
cela signifie qu'on peut espérer sur un grand nombre de parties, gagner en moyenne 3€ par partie.

Exemple

Une urne contient 6 jetons, numérotés de 1 à 6 indiscernables au toucher.
Un joueur pioche un jeton.
Si le numéro est pair, il gagne 1€.
S'il prélève le numéro 1, il gagne 10€. Sinon il perd 4€.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

$x_i$	-4	1	10
$p({\rm X}=x_i)$	$\boldsymbol{\frac 26}$	$\boldsymbol{\frac 36}$	$\boldsymbol{\frac 16}$

Donc $\displaystyle {\rm E(X)}=-4\times \frac 26+1\times \frac 36+10\times \frac 16=\frac 56$
Ce qui signifie qu'on peut espérer gagner $\displaystyle\frac 56$€ en moyenne par partie.

Sous réserve de faire un grand nombre de parties.

Propriété l'espérance

${\rm E}(a{\rm X}+b)=a{\rm E(X)}+b$

Autrement dit,
Si on multiplie une variable aléatoire par $\boldsymbol{a}$, l'espérance est aussi multipliée par $\boldsymbol{a}$.
Si on ajoute $\boldsymbol{b}$ à une variable aléatoire, l'espérance est aussi augmentée de $\boldsymbol{b}$.

Ne pas confondre

Ne pas confondre
L'espérance de gain et la probabilité de gagner

Exemple:
On considère le jeu suivant:
On lance un dé bien équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Si le 6 sort, on gagne 12€, sinon on perd 2€.
Soit G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
On en déduit la loi de probabilité de G:

$x_i$	-2	12
$p({\rm G}=x_i)$	$\boldsymbol{\frac 56}$	$\boldsymbol{\frac 16}$

Donc $\displaystyle {\rm E(G)}=-2\times \frac 56+12\times \frac 16=\frac 26=\frac 13$
Ici la probabilité de gagner est $\displaystyle \frac 16$ et l'espérance de gain de $\displaystyle\frac 13$

Equitable

On note E(G) l'espérance de gain d'un joueur à un jeu.
Lorsque $ {\boldsymbol{\rm{E(G)=0}}}$, on dit que le jeu est équitable.
Lorsque $ {\boldsymbol{\rm{E(G)>0}}}$, on dit que le jeu est favorable au joueur.
Lorsque ${\boldsymbol{\rm{E(G)\lt 0}}}$, on dit que le jeu est défavorable au joueur.

Variance - Ecart-type

On se place dans le cas d'un univers fini.

♦ Variance et écart-type d'une variable aléatoire: cours en vidéo

Calculer la variance

Si on a une variable aléatoire X avec la loi de probabilité:

$x_i$	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
$p({\rm X}=x_i)$	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

L'espérance de X, notée E(X) est égale à
$\boldsymbol{{\rm E(X)}=x_1\times p_1+...+x_n\times p_n}$

La variance de X, notée V(X) est égale à
$\boldsymbol{{\rm V(X)}=(x_1-{\rm E(X)})^2\times p_1+...+(x_n-{\rm E(X)})^2\times p_n}$

Pour calculer la variance,
penser à calculer d'abord l'espérance!

Calculer l'écart-type

L'écart-type d'une variable aléatoire X se note $\boldsymbol{\sigma({\rm X})}$ et est égale à:
$\boldsymbol{\sigma{\rm (X)}=\sqrt{\rm V(X)}}$

Autrement dit
l'écart-type est la racine carrée de la variance.

Ce symbole $\boldsymbol{\sigma}$ se lit "sigma"
$\boldsymbol{\sigma{\rm (X)}}$ se lit "L'écart-type de X"
Interpréter variance et écart-type

La variance et l'écart-type mesure la dispersion.

Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont dispersées.
Plus l'écart-type est petit, moins les valeurs prises par la variable aléatoire sont dispersées.

on a exactement les mêmes propriétés avec la variance:
Plus la variance est grande, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont dispersées.
Plus la variance est petit, moins les valeurs prises par la variable aléatoire sont dispersées.

L'intérêt de l'écart-type,
est qu'il est dans la même unité que les valeurs prises par X

Ce qui n'est pas le cas de la variance,
à cause des carrés dans la formule de la variance.

Exemple

$x_i$	-4	1	10
$p({\rm X}=x_i)$	$\boldsymbol{\frac 26}$	$\boldsymbol{\frac 36}$	$\boldsymbol{\frac 16}$

Donc $\displaystyle {\rm E(X)}=-4\times \frac 26+1\times \frac 36+10\times \frac 16=\frac 56$
Donc $\displaystyle {\rm V(X)}=\left(-4-\frac56\right)^2\times \frac 26+\left(1-\frac 56\right)^2\times \frac 36+\left(10-\frac 56\right)^2\times \frac 16=\frac {4710}{216}$
Donc $\displaystyle {\sigma{\rm (X)}=\sqrt{\rm V(X)}}\simeq 4,7$

Propriété la variance

${\rm V}(a{\rm X})=a^2{\rm V(X)}$

Autrement dit,
Si on multiplie une variable aléatoire par $\boldsymbol{a}$, la variance est multipliée par $\boldsymbol{a^2}$.
Espérance, Variance, Ecart-type avec la calculatrice CASIO Graph 35 et 90

Résumé:

• Menu puis Stat
• Rentrer en list1 : les valeurs de X
• Rentrer en list2 : les probabilités correspondantes
• Cliquer sur Calc puis 1-Var

Bien vérifier que les règlages sont bons.
Pour cela: Calc + Set
et vous devez avoir:
1Var .... liste1
1Var .... liste2
Espérance, Variance, Ecart-type avec la calculatrice TI 82 83

Résumé:

• Stat + Modifier
• Rentrer en list1 : les valeurs de X
• Rentrer en list2 : les probabilités correspondantes
• Cliquer sur Stat puis Calc puis 1-Var puis Listfreq: L2

Corrigé en vidéo! Exercices 1: Loi de probabilité - Espérance - Première S - ES - STI

On vous propose le jeu suivant:
Pour jouer, il faut payer 2€. Ensuite, on lance 3 fois de suite une pièce bien équilibrée. Chaque pile rapporte 3€ et chaque face fait perdre 2€.
On considère la variable aléatoire G égale au gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de G et son espérance.

Corrigé en vidéo! Exercices 2: Variable aléatoire - Loi de probabilité - Espérance - Première S - ES - STI

Vous attaquez en justice un promoteur pour malfaçon. Si vous gagnez le procès, vous toucherez 100 000€ . Vous avez le choix entre deux avocats:
Le premier réclame 12 000€ d'honoraires fixes. Le second demande 30% de la somme si vous gagnez et rien sinon. Chaque avocat a 80% de chances de gagner le procès.
Quel avocat choisir de façon à maximiser votre espérance de gain?

Corrigé en vidéo! Exercices 3: Variable aléatoire - Loi de probabilité - Première S - ES - STI

Un cube de 3 cm de côté est peint en bleu puis découpé en petits cubes identiques
de 1 cm de côté, comme indiqué sur la figure. On place ces petits cubes dans un sac.
Puis on tire au hasard un cube du sac. On s'intéresse à la variable aléatoire $\rm X$
correspondant au nombre de faces peintes en bleu du cube tiré.
Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.

Corrigé en vidéo! Exercices 4: Loi de probabilité de l'écart de 2 dés • Espérance • Première S - ES - STI

On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note X la variable aléatoire égale à l'écart entre les deux nombres sortis.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Déterminer l'espérance de X. Interpréter.

Corrigé en vidéo! Exercices 5: Loi de probabilité du maximum de 2 dés - espérance - Première S - ES - STI

On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note X la variable aléatoire égale au plus grand des deux nombres sortis.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Déterminer l'espérance de X. Interpréter.

Corrigé en vidéo! Exercices 6: Paradoxe de l'espérance - Loi de probabilité - variable aléatoire

On vous propose le jeu suivant:
Vous lancez deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Si vous obtenez un double six, vous gagnez 1 millions d'euros sinon vous perdez 10000 euros.
Que faîtes-vous? Justifier.

Corrigé en vidéo! Exercices 7: Probabilité - Roue de la fortune - Espérance de gain

A la fête foraine, une roue de la fortune est partagée en 12 secteurs égaux.
Six sont bleus, deux sont roses, trois sont jaunes et un est vert.
Pour jouer, il faut payer 5€ .
On fait tourner la roue:
$\bullet$ Si le bleu sort, on a perdu et on ne reçoit rien.
$\bullet$ Si le jaune sort, on est remboursé du prix de la partie.
$\bullet$ Si le rose sort, on reçoit 10€.
Le forain veut attribuer le plus gros gain au secteur vert. Aidez le à choisir le gain du secteur vert.

Corrigé en vidéo! Exercices 8: Probabilité avec un dé truqué

On lance un dé truqué à $6$ faces numérotées de 1 à 6. Les faces de 1 à 5 ont la même probabilité de sortir. La probabilité de la face 6 est le double de la probabilité de la face 5.
On note $\rm X$ la variable aléatoire égale au numéro sorti.
1) Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.
2) Déterminer $\rm E(X)$.

Corrigé en vidéo! Exercices 9: Probabilité - Nombre de chiffres bien placés dans un code

Rose a oublié le code de son cadenas composé de 3 chiffres compris entre 0 et 9.
Elle essaye une combinaison au hasard.
On note X la variable aléatoire indiquant le nombre de chiffres bien placés.
Déterminer la loi de probabilité de X puis son espérance.

Corrigé en vidéo! Exercices 10: Savoir calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par:

$x_i$	0	20	5	15
${\rm P(X=}x_i)$	0,5	0,1	0,2	0,2

Déterminer son espérance ${\rm E(X)}$. Interpréter.
Déterminer sa variance ${\rm V(X)}$ et son écart-type $\sigma({\rm X})$.

Corrigé en vidéo! Exercices 11: Probabilité et investissement

Un trader a analysé plusieurs scénarios quant à l'évolution de deux actions notées A et B. On note $X$ la variable aléatoire donnant l'évolution en euros de l'action A et $Y$ celle donnant l'évolution en euros de l'action B. Voici les lois de probabilités de $X$ et de $Y$.

Valeur de $X$	-50	0	10	40
Probabilité	0,1	0,3	0,5	0,1

Valeur de $Y$	-30	10	30
Probabilité	0,3	0,4	0,3

Vérifier que $E(X) = E(Y)$. Interpréter.
Calculer $V(X)$ et $V(Y)$.
Le trader ne souhaite pas prendre trop de risques et décide d'investir sur l'action la moins volatile. Quelle action lui conseillez-vous? Justifier.

Corrigé en vidéo! Exercices 12: Probabilité - Rang de la première boule blanche tirée

On a placé dans une urne cinq boules indiscernables au toucher: 3 noires et 2 blanches.
On tire au hasard une à une toutes les boules de l'urne sans jamais les remettre.
On appelle $\rm R$ la variable aléatoire correspondant au rang de la première boule blanche tirée.
Déterminer la loi de probabilité de $\rm R$ puis son espérance.

Corrigé en vidéo! Exercices 13: Probabilité - Trouver n pour que l'espérance soit positive

Une urne contient $6$ boules blanches et $n$ boules rouges ($n$ est un nombre entier tel que $n \geqslant 2$) toutes indiscernables au toucher. Un joueur tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2€, et pour chaque boule rouge, il perd 3€.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
1) Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre $X$ ?
2) Montrer que $P(X = -1) = \dfrac{12n}{(n + 6)(n+5)}$.
3) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
4) Montrer que $E(X) = \dfrac{-6(n^2 + n - 20)}{(n+6)(n+5)}$.
5) Discuter selon la valeur de $n$ de l'intêret de jouer à ce jeu.

Corrigé en vidéo! Exercices 14: Probabilité - Espérance maximale

Un joueur pioche dans un jeu de $52$ cartes autant de cartes qu'il le désire sans les regarder.
Une fois qu'il a fini, il en prend connaissance.
S'il a tiré l'as de pique, il perd 10€. Sinon, il gagne 1€ par carte.
Combien doit-il piocher de cartes pour maximiser son gain moyen ? Combien peut-il alors espérer gagner ?

Corrigé en vidéo! Exercices 15: Probabilité - Espérance et diagramme de Venn (Patate)

Une entreprise fabrique des appareils susceptibles de présenter deux types de pannes notées A et B.
On admettra que 5% des appareils sont concernés par la panne A, 3% par la panne B et 1% par les deux.
On prélève au hasard un appareil dans la production. On note :
• A l'événement : "L'appareil présente la panne A."
• B l'événement : "L'appareil présente la panne B."
L'entreprise fabrique un grand nombre d'appareils par semaine. Chaque appareil a un coût de fabrication de 200€. La réparation d'une panne A coûte 60 euros à l'entreprise, la réparation d'une panne B coûte 40 euros et la réparation des deux pannes coûte 100 euros.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque appareil, associe son prix de revient total (coût de fabrication et coût de la réparation éventuelle).
1) Établir le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2) Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X. Interpréter.

Corrigé en vidéo! Exercices 16: Probabilité - Jeu Crown and Anchor - Un classique!

The Crown and Anchor est un jeu d'argent qui date du XVIII^ième siècle qui était pratiqué sur certains navires anglais. Le jeu se joue avec trois dés cubiques identiques non pipés.
6 symboles sont dessinés sur les faces : un pique, un coeur, un trèfle, un carreau, une couronne et une ancre.
Un joueur mise 10€, sur un symbole et le croupier lance les trois dés.
Si le symbole joué ne sort pas, la mise est perdue, sinon le joueur récupère sa mise et gagne en plus autant de fois sa mise que le symbole apparaît. Est-il intéressant de jouer un grand nombre de fois à ce jeu?

Corrigé en vidéo! Exercices 17: Probabilité - Comment rendre un jeu équitable

Un sac contient une bille rouge, un certain nombre de billes bleues et deux fois plus de billes noires que de billes bleues. Un joueur tire au hasard une bille.
Si la bille est rouge, il gagne 10€, si elle est bleue, il gagne 3€ mais si la bille est noire, il perd 2€.
Combien faut-il mettre de billes bleues pour que le jeu soit équitable?

Corrigé en vidéo! Exercices 18: Probabilité - Variable aléatoire - Espérance

On lance un dé cubique bien équilibré avec des faces numérotées de $1$ à $6$. On note $X$ le résultat. Calculer l'espérance de $X$.
Un professeur de philosophie a égaré son paquet de copies. Il décide de noter les élèves en lançant pour chacun d'eux un dé à $6$ faces et en multipliant le résultat par $2$ puis en ajoutant $3$. A l'aide la question 1., donner la note moyenne obtenue avec ce procédé.

Corrigé en vidéo! Exercices 19: Probabilité - Espérance

Une urne contient une boule rouge et $n$ boules blanches. On tire successivement et avec remise deux boules de l'urne.

Exprimer en fonction de $n$ la probabilité des évènements suivants:
1. $M$ : "Les deux boules sont de la même couleur".
2. $N$ : " Les deux boules sont de couleur différente".
On pourra éventuellement s'aider d'un arbre.
On considère le jeu suivant: le joueur perd $(n + 1)^2$ euros si $M$ est réalisé et gagne $2(n + 1)^2$ euros sinon. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2. Démontrer que $\mathbb{E}(X) = -n^2 + 4n - 1$.
3. Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est favorable au joueur?
4. Si on laisse choisir au joueur le nombre de boules blanches, que doit-il répondre?

Corrigé en vidéo! Exercices 20: Probabilité - Espérance

On lance trois fois un dé bien équilibré à 6 faces, numérotées de $1$ à $6$.
On note respectivement $A$, $B$ et $C$ les résultats du premier, du deuxième et du troisième lancer.
On appelle $N$ la variable aléatoire égale au nombre de racines du trinôme $Ax^2 + Bx + C$.
Calculer espérance de $N$.

Corrigé en vidéo! Exercices 21: Probabilité - Espérance

Un joueur lance un dé cubique (bien équilibré) à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$.
Tant que le joueur n'obtient pas un $1$, il a le choix entre arrêter le jeu ou continuer à lancer le dé.
Il cumule alors ses résultats précédents avec le nouveau nombre obtenu sauf s'il lance un $1$.
Dans ce cas, il retombe à $0$.
a) Programmer ce jeu en Python.
b) Quelle stratégie doit-il employer pour obtenir en moyenne le meilleur score ?

Variable aléatoire

On se place dans le cas d'un univers fini.

Espérance d'une variable aléatoire

Variance - Ecart-type