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Exercices
1: Calculer des
probabilités conditionnelles
Voici la répartition des élèves de première d'un lycée selon leur genre et s'ils sont gauchers
ou droitiers:
|
Gaucher |
Droitier |
Total |
| Garçon |
$12$ |
$79$ |
$91$ |
| Fille |
$10$ |
$75$ |
$85$ |
| Total |
$22$ |
$154$ |
$176$ |
On choisit un élève au hasard. On note les événements :
-
$\bullet$ F: « L'élève choisit est une fille »
-
$\bullet$ D: « L'élève choisit est droitier »
- Quelle est la probabilité qu'il soit
gaucher?
- Quelle est la probabilité que ce soit une
fille gauchère?
- Calculer ${\rm P}_{\rm F}(\rm D)$ puis
${\rm P}_{\rm D}(\rm F)$.
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Exercices
2: Calculer des
probabilités conditionnelles
Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous sachant que:
$\bullet~ \rm p(A)=0,4$ $\bullet~ \rm p_A(B)=0,1$ $\bullet~ \rm
p_{\overline A}(B)=0,7$
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Exercices
3: Calculer des
probabilités conditionnelles
-
Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
-
À l'aide de cet arbre :
-
Donner $\rm p(\overline C)$, $\rm p_{\overline C}(D)$.
-
Déterminer $\rm p(\rm C \cap D)$.
-
Déterminer ${\rm p}(\rm D)$.
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Exercices
4: Calculer des
probabilités conditionnelles
-
Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
-
À l'aide de cet arbre :
-
Calculer $\rm p(\rm C \cap D)$ puis ${\rm p}(\rm D)$.
-
En déduire $\rm p_{D}(\rm C)$.
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Exercices
5:
arbre & probabilités conditionnelles - tennis
Un joueur de tennis réussit sa première balle de service avec une probabilité de $0,7$. S'il ne
réussit pas sa première balle de service, il réussit sa seconde balle de service avec une
probabilité de $0,9$.
On note les événements:
$\bullet$ $\rm R_1$ : « Il réussit sa première balle de service. »
$\bullet$ $\rm R_2$ : « Il réussit sa deuxième balle de service. »
-
Représenter la situation par un arbre de probabilités.
-
Quelle est la probabilité qu'il commette une double faute?
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Exercices
6:
probabilités conditionnelles avec un tableau
On souhaite tester l'efficacité d'un nouveau médicament destiné à lutter contre l'excès de
cholestérol. Des essais sont faits sur un échantillon de patients présentant un excès de
cholestérol
dans le sang. Certains patients reçoivent le médicament tandis que d'autres reçoivent un placebo
(comprimé sans principe actif). La répartition est indiquée dans le tableau ci-dessous:
|
Placebo |
Médicament |
| Guéri |
$12$ |
$119$ |
| Non guéri |
$48$ |
$21$ |
On choisit un patient au hasard et on note les événements:
-
$\bullet$ M: « Le patient a reçu le médicament. »
-
$\bullet$ G: « Le patient est guéri. »
Déterminer les probabilités suivantes:
$ \color{red}{\textbf{a. }}
\rm p(M)$
$\color{red}{\textbf{b. }} \rm
p(M\cap
\overline{G})$
$\color{red}{\textbf{c. }}
\rm p_{M}(G)$
$\color{red}{\textbf{d. }}
\rm p_{\overline G}(M)$
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Exercices
7: Calculer des
probabilités conditionnelles
Dans un laboratoire, on élève des souris et on note les caractéristiques dans le tableau ci-contre :
On choisit au hasard une souris du laboratoire.
On note :
|
Mâle |
Femelle |
Total |
| Blanche |
10 |
30 |
40 |
| Grise |
8 |
2 |
10 |
| Total |
18 |
32 |
50 |
-
$B$ l'événement : "la souris est blanche" .
-
$G$ l'événement : "la souris est grise" .
-
$M$ l'événement : "la souris est un mâle" .
-
$F$ l'événement : "la souris est une femelle" .
Calculer les probabilités suivantes : a) $P(M)$ b) $P_B(M)$ c) $P_F(G)$
d) $P(B \cap F)$ e) $P(G \cup M)$
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Exercices
8: Calculer des
probabilités conditionnelles
Un modèle de voiture présente une panne $A$ avec une probabilité de $0,05$, une panne $B$ avec une
probabilité de $0,04$ et
les deux pannes avec une probabilité de $0,01$.
On choisit au hasard une voiture de ce modèle.
-
Quelle est la probabilité qu'elle présente la panne $B$ sachant qu'elle présente la panne $A$ ?
-
Quelle est la probabilité qu'elle présente la panne $A$ sachant qu'elle présente au moins une
panne ?
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Exercices
9: Calculer des
probabilités conditionnelles
On lance deux dés, non truqués, un rouge et un bleu, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Quelle est la probabilité que la somme des faces obtenues soit égale à 6 sachant qu'on a obtenu
1 avec au moins un des 2 dés.
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Exercices
10: Savoir traduire un énoncé en terme de probabilité
conditionnelle
Dans une classe, on considère les évènements F:« l'élève est une fille» et B:« l'élève
est blond(e)».
Traduire chaque phrase en terme de probabilité:
1) Un cinquième des filles sont blondes.
2) La moitié des blonds sont des filles.
3) Trois huitièmes des élèves sont des garçons.
4) Un élève sur huit est une fille blonde.
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Exercices
11: Déterminer la probabilité d'une intersection à l'aide d'un arbre
pondéré
E et F sont deux évènements tels que $\rm{P(E)}=0,4$ et $\rm{P_E(F)}=0,9$. Déterminer $\rm P(E\cap
\overline{F})$.
Exercices
12: Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
Dans une classe, 80% des élèves ont un téléphone portable.
Parmi eux, 60% ont une connexion internet sur leur téléphone.
Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait un portable sans connexion internet.
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Exercices
13: Lien entre probabilité conditionnelle, intersection et union
A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$, $\rm P_B(A)=0,2$ et $\rm P(A\cup B)=0.8$.
Déterminer $\rm P(A\cap B)$.
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Exercices
14: Déterminer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un diagramme
de Venn
A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$, $\rm P(B)=0,16$ et $\rm P(A\cap
\overline{B})=0,3$.
Déterminer $\rm P_{\overline{A}}\overline{B}$.
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Exercices
15: Comment faire un arbre pondéré quand on ne connait pas toutes les
probabilités
Dans une tombola, il y a des tickets bleus et d'autres pas bleus.
Un tiers des tickets bleus sont gagnants. Un ticket sur sept est bleu et gagnant.
On nous donne un ticket au hasard. Déterminer la probabilité d'avoir un ticket pas bleu.
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Exercice
16: Traduire l'énoncé, construire un arbre pondéré, calculer des
probabilités
En France, la proportion de gauchers est de 16%. On compte 3 gauchers hommes pour 2 gauchères.
Quelle est la probabilité qu'un français choisi au hasard soit une gauchère?
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Exercice
17: Probabilité conditionnelle, arbre, espérance maximum
Un jeu consiste à tirer successivement et sans remise 2 boules d'une urne. Pour jouer, il faut payer
3€ . Cette urne contient $k$ boules, avec $k\ge 10$, dont 7 noires. Les autres boules sont
blanches.
• Si aucune des boules tirées n'est noire, le joueur reçoit 3€.
• Si une seule boule est noire, le joueur reçoit 13€.
• Dans les autres cas, il ne reçoit rien.
On note $\rm X$, la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.
1) Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.
2) Montrer que l'espérance ${\rm E(X)}=\frac{14(10k-79)}{k^2-k}$.
3) Déterminer $k$ de façon à ce que $\rm E(X)$ soit maximale.
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Exercice
18: Paradoxe des deux enfants - Probabilité conditionnelle - piège
!!!!
Vos voisins ont deux enfants. Vous avez vu par la fenêtre que l'un des enfants est une fille. Quelle est
la probabilité que l'autre soit aussi une fille?
On considère qu'à la naissance, les évènements "avoir une fille" et "avoir un garçon" sont
équiprobables et indépendants.
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Exercice
19: Paradoxe des anniversaires - Probabilité - Surprenant !!!!
Dans une classe de 35 élèves, quelle est la probabilité qu'au moins $2$ élèves fêtent leur anniversaire
le même jour.
(On considèrera qu'une année est constituée de 365 jours).
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Résumé du Cours
