Un commerçant constate que parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90\%$ d'entre eux
achètent un
melon la semaine suivante. Parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, $60\%$ d'entre eux
n'achètent
pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la
semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on note
${\rm A}_n$ l'évènement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ » et $p_n=p({\rm A}_n)$. On a
ainsi $p_1 = 1$.
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Démontrer que $p_3 = 0,85$.
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Sachant que le client achète un melon la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté la semaine
2?
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Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 0,5p_n +0,4$.
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Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.
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En déduire que la suite $(p_n)$ est décroissante. La suite $(p_n)$ est-elle convergente ?
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On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n -0,8$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
Exprimer $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de $(p_n)$.