Formule des probabilités totales
Evénement indépendant

Préciser dans chaque cas si les événements $A$ et $B$ sont indépendants:

1. $\rm{P}(\rm{A} \cap \rm{B}) = 0,36$ et $\rm{P}(\rm{A}) = 0,4$ et $\rm{P}(\rm{B}) = 0,9$.
2. $\rm{P}(\rm{A} \cap \rm{B}) = 0,4$ et $\rm{P}(\rm{A}) = 0,5$ et $\rm{P}(\overline{\rm{B}}) = 0,2$.
3. $\rm{P}(A \cup B) = 0,8$ et $\rm{P}(A) = 0,6$ et $\rm{P}(B) = 0,4$.

On lance deux dés bien équilibrés à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$, un bleu et un rouge.
On note $\rm{A}$ l'événement «le dé bleu donne $1$» et $\rm{B}$ l'événement «la somme des dés donne $7$».
Montrer que $\rm{A}$ et $\rm{B}$ sont indépendants.

Le parc informatique d'une entreprise est constitué d'ordinateurs de marques A, B ou C référencés au service de maintenance.

1. 60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15% sont des portables.
2. 30% des ordinateurs sont de la marque B et 20% d'entre eux sont des portables.
3. Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50% d'entre eux sont des portables.

On consulte au hasard la fiche d'un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la fiche d'un ordinateur portable ?

A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$, $\rm P(B)=0,16$ et $\rm P(A\cap \overline{B})=0,3$. Déterminer $\rm P_{\overline{A}}\overline{B}$.

Une maladie se propage dans une population. On sait que:
   20% de la population est vaccinée.
   95% des personnes vaccinées ne sont pas malades.
   6% de la population est malade.
Déterminer la probabilité pour un individu non vacciné d'être malade. Commenter ce résultat.

Un sportif est choisi au hasard dans un groupe pour subir un contrôle antidopage.
On appelle T l'évènement: « Le contrôle est positif». D'après les statistiques, on admet que $\rm P(T)=0,05$.
On appelle D l'évènement: « Le coureur est dopé».
Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que:
   Si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas.
   Si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.
1) On note $p$ la probabilité de D. Déterminer $p$ à l'aide d'un arbre pondéré.
2) Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé?

Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A :
• $30\%$ des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice.
• $\frac 56$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.
On sait de plus que 20% des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ».
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage? On arrondira le résultat à 0,001 près.

Dans l'urne ci-contre, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs.
On tire au hasard un jeton dans cette urne.
On considère les évènements suivants:
R: « le jeton tiré est rouge »,
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »
1) Les évènements R et I sont-ils indépendants?
2) Les évènements B et I sont-ils indépendants?

Dans l'urne ci-contre, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs.
On tire au hasard un jeton dans cette urne.
On considère les évènements suivants:
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »
1) Les évènements B et I sont-ils indépendants?
2) Combien faut-il rajouter de jetons bleus numérotés 1
    pour que les évènements B et I soient indépendants?

On considère des sacs de billes $\rm S_1$, $\rm S_2$, $\rm S_3$, ...tels que $\rm S_1$ contient 3 billes jaunes et 2 billes vertes.
Chacun des sacs suivants $\rm S_2$, $\rm S_3$, ... contient 2 billes jaunes et 2 billes vertes.
On tire au hasard une bille de $\rm S_1$ et on la met dans $\rm S_2$.
Puis on tire une bille de $\rm S_2$ et on la met dans $\rm S_3$. Et ainsi de suite.
Pour tout entier $n\ge 1$, on note $\rm E_n$ l'évènement « la bille tirée dans $\rm S_n$ est verte » et $\rm{P}(\rm{E}_n)$ sa probabilité.
1) Déterminer $\rm{P}(\rm{E}_1)$, $\rm{P}_{\rm{E}_1}(\rm{E}_2)$ , $\rm{P}_{\overline{\rm{E}_1}}(\rm{E}_2)$ puis $\rm P(E_2)$.
2) A l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $\rm{P}(\rm{E}_{n+1})$ en fonction de $\rm{P}(\rm{E}_n)$.
3) Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=0,4$ et pour tout entier $n\ge 1$, $u_{n+1}=0,2 u_n+0,4$.
   a) Démontrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $0,5$.
   b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   c) Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.

Un commerçant constate que parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90\%$ d'entre eux achètent un melon la semaine suivante. Parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, $60\%$ d'entre eux n'achètent pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on note ${\rm A}_n$ l'évènement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ » et $p_n=p({\rm A}_n)$. On a ainsi $p_1 = 1$.

1. Démontrer que $p_3 = 0,85$.
2. Sachant que le client achète un melon la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté la semaine 2?
3. Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 0,5p_n +0,4$.
4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.
5. En déduire que la suite $(p_n)$ est décroissante. La suite $(p_n)$ est-elle convergente ?
6. On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n -0,8$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
   Exprimer $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de $(p_n)$.

Un virus touche $1$% de la population. Un laboratoire fournit un test pour lequel $95$% des malades sont positifs et $95$% des personnes saines sont négatifs.
Vous êtes testé positif. Quelle est votre probabilité d'être atteint par le virus ?