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Exercices
1: Calculer des
probabilités conditionnelles
On interroge 500 personnes pour savoir si elles sont allées chez le médecin.
|
Médecin |
Pas médecin |
Total |
Enfant |
$90$ |
$60$ |
$150$ |
Adulte |
$310$ |
$40$ |
$350$ |
Total |
$400$ |
$100$ |
$500$ |
On choisit une personne au hasard. On note les événements :
-
$\bullet$ M: « La personne choisie est allée chez le médecin »
-
$\bullet$ E: « La personne choisie est un enfant »
Les événements M et E sont-ils indépendants?
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Exercices
2:
succession d'épreuves d'événements indépendants
- On lance deux dés cubiques bien équilibrés avec les faces numérotées de $1$ à $6$.
Quelle est la probabilité de faire un double six ?
-
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie.
Quelle est la probabilité de ne faire que des "face" ?
-
On lance la pièce de monnaie puis le dé.
Quelle est la probabilité de faire "pile" et un nombre supérieur ou égal à $3$ ?
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Exercices
3:
succession d'épreuves d'événements indépendants
Sur son trajet habituel domicile-travail, une automobiliste rencontre deux feux tricolores qui fonctionnent de
manière indépendante :
-
la probabilité de devoir s'arrêter au premier feu est de $\dfrac{1}{3}$.
-
la probabilité de devoir s'arrêter au second feu est de $\dfrac{5}{12}$.
- Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête deux fois ?
-
Quelle est la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête à aucun feu sur son trajet ?
-
Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au moins une fois sur son trajet ?
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Exercices
4:
succession d'épreuves d'événements indépendants
Un vendeur a deux rendez-vous dans sa matinée avec des clients. Il va faire signer un contrat à son premier client avec une probabilité de $0,7$
et avec le deuxième client avec une probabilité de $0,4$ (les deux événements sont considérés indépendants).
- Quelle est la probabilité de l'événement : "le vendeur ne fait signer aucun contrat" ?
-
Quelle est la probabilité de l'événement : "le vendeur fait signer au moins un contrat" ?
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Exercices
5:
Probabilités conditionnelles - Événements indépendants
Préciser dans chaque cas si les événements $A$ et $B$ sont indépendants:
-
$\rm{P}(\rm{A} \cap \rm{B}) = 0,36$ et $\rm{P}(\rm{A}) = 0,4$ et $\rm{P}(\rm{B}) = 0,9$.
-
$\rm{P}(\rm{A} \cap \rm{B}) = 0,4$ et $\rm{P}(\rm{A}) = 0,5$ et $\rm{P}(\overline{\rm{B}}) = 0,2$.
-
$\rm{P}(A \cup B) = 0,8$ et $\rm{P}(A) = 0,6$ et $\rm{P}(B) = 0,4$.
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Exercices
6:
Probabilités conditionnelles - Événements indépendants
On lance deux dés bien équilibrés à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$, un bleu et un rouge.
On note $\rm{A}$ l'événement «le dé bleu donne $1$» et $\rm{B}$ l'événement «la somme des dés
donne $7$».
Montrer que $\rm{A}$ et $\rm{B}$ sont indépendants.
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Exercices
7:
Formule des probabilités totales
Le parc informatique d'une entreprise est constitué d'ordinateurs de marques A, B ou C référencés au service de
maintenance.
- 60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15% sont des portables.
- 30% des ordinateurs sont de la marque B et 20% d'entre eux sont des portables.
-
Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50% d'entre eux sont des portables.
On consulte au hasard la fiche d'un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la fiche d'un ordinateur
portable ?
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Exercices
8:
Probabilités conditionnelles - Arbre pondéré - intersection
A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$, $\rm P(B)=0,16$ et $\rm P(A\cap \overline{B})=0,3$.
Déterminer $\rm P_{\overline{A}}\overline{B}$.
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Exercices
9:
Formule des probabilités totales et arbre pondéré
Une maladie se propage dans une population. On sait que:
20% de la population est vaccinée.
95% des personnes vaccinées ne sont pas malades.
6% de la population est malade.
Déterminer la probabilité pour un individu non vacciné d'être malade. Commenter ce résultat.
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Exercices
10:
Probabilités conditionnelles - D'après sujet de Bac
Un sportif est choisi au hasard dans un groupe pour subir un contrôle antidopage.
On appelle T l'évènement: « Le contrôle est positif». D'après les statistiques, on admet que $\rm
P(T)=0,05$.
On appelle D l'évènement: « Le coureur est dopé».
Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que:
Si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas.
Si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.
1) On note $p$ la probabilité de D. Déterminer $p$ à l'aide d'un arbre pondéré.
2) Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé?
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Exercices
11:
Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales -
D'après sujet de Bac
Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C
et D) sont au programme. Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à
maîtriser. Un stage
de préparation est alors proposé pour travailler ce thème.
Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A :
• $30\%$ des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice.
• $\frac 56$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.
On sait de plus que 20% des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ».
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage? On arrondira le résultat à 0,001 près.
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Exercices
12:
Évènements indépendants
Dans l'urne ci-contre, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs.
On tire au hasard un jeton dans cette urne.
On considère les évènements suivants:
R: « le jeton tiré est rouge »,
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »
1) Les évènements R et I sont-ils indépendants?
2) Les évènements B et I sont-ils indépendants?
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Exercices
13:
Condition pour que deux évènements soient indépendants
Dans l'urne ci-contre, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs.
On tire au hasard un jeton dans cette urne.
On considère les évènements suivants:
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »
1) Les évènements B et I sont-ils indépendants?
2) Combien faut-il rajouter de jetons bleus numérotés 1
pour que les évènements B et I soient indépendants?
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Exercices
14:
Probabilités conditionnelles et suite - D'après sujet de Bac
On considère des sacs de billes $\rm S_1$, $\rm S_2$, $\rm S_3$, ...tels que $\rm S_1$ contient 3 billes jaunes
et 2 billes vertes.
Chacun des sacs suivants $\rm S_2$, $\rm S_3$, ... contient 2 billes jaunes et 2 billes vertes.
On tire au hasard une bille de $\rm S_1$ et on la met dans $\rm S_2$.
Puis on tire une bille de $\rm S_2$ et on la met dans $\rm S_3$. Et ainsi de suite.
Pour tout entier $n\ge 1$, on note $\rm E_n$ l'évènement « la bille tirée dans $\rm S_n$ est verte »
et $\rm{P}(\rm{E}_n)$ sa probabilité.
1) Déterminer $\rm{P}(\rm{E}_1)$, $\rm{P}_{\rm{E}_1}(\rm{E}_2)$ ,
$\rm{P}_{\overline{\rm{E}_1}}(\rm{E}_2)$ puis $\rm P(E_2)$.
2) A l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $\rm{P}(\rm{E}_{n+1})$ en fonction de $\rm{P}(\rm{E}_n)$.
3) Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=0,4$ et pour tout entier $n\ge 1$, $u_{n+1}=0,2 u_n+0,4$.
a) Démontrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $0,5$.
b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
c) Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.
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Exercices
15:
Probabilités conditionnelles et suite - D'après sujet de Bac
Un commerçant constate que parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90\%$ d'entre eux
achètent un
melon la semaine suivante. Parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, $60\%$ d'entre eux
n'achètent
pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la
semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on note
${\rm A}_n$ l'évènement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ » et $p_n=p({\rm A}_n)$. On a
ainsi $p_1 = 1$.
-
Démontrer que $p_3 = 0,85$.
-
Sachant que le client achète un melon la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté la semaine
2?
-
Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 0,5p_n +0,4$.
-
Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.
-
En déduire que la suite $(p_n)$ est décroissante. La suite $(p_n)$ est-elle convergente ?
-
On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n -0,8$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
Exprimer $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de $(p_n)$.
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Exercices
16:
Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales -
Suite à l'épidémie de Coronavirus
Un virus touche $1$% de la population. Un laboratoire fournit un test pour lequel $95$% des malades sont
positifs et $95$% des personnes saines sont négatifs.
Vous êtes testé positif. Quelle est votre probabilité d'être atteint par le virus ?