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Polynôme du second degré - forme canonique variations sommet

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Polynôme du second degré
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Fonction polynôme du second degré
•

fonction polynôme du second degré

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Forme canonique et à quoi ça sert
•

Forme canonique

•

A quoi sert la forme canonique

•

3 façons d'écrire un polynôme du second degré

•

Courbe d'un polynôme du second de degré $f(x)=ax^2+bx+c$

Cours

3 techniques pour écrire $ax^2+bx+c$ sous forme canonique
•

Avec les formules $\alpha$ et $\beta$

•

Compléter le carré (Complétion du carré)

•

Si on connait les coordonnées du sommet

Cours

Démonstration • forme canonique

Résumé du cours

 Second degré

Exercice 1: Polynôme du second degré - savoir trouver les coefficients - Première Spécialité maths S ES STI

Dans chaque cas, dire s'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. Dans l'affirmative, donner les coefficients $a$, $b$, $c$.
$\color{red}{\textbf{a. }} -2x^2+5$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} \dfrac{x^2+6x-1}3$ $\color{red}{\textbf{d. }} (3x-2)^2-9x^2$

Exercice 2: Écrire un polynôme sous forme canonique - Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, déterminer la forme canonique des trinômes suivants:
$\color{red}{\textbf{a. }} x^2+6x+1$ $\color{red}{\textbf{b. }} -2x^2+5$

Exercice 3: Écrire un polynôme sous forme canonique - Première S ES STI spé maths

Dans chaque cas, déterminer la forme canonique des trinômes suivants:
$\color{red}{\textbf{a. }} 2x^2+x$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2$

Exercice 4: Parabole - coordonnées du sommet - polynôme du second degré - Première spé maths S ES STI

On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction $f$. Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du sommet de $\mathscr{P}$:
$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=-x^2+4x+1$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=2(x+3)^2-7$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=(1-x)(x+3)$

Exercice 5: Abscisse du sommet d'une parabole - Première spé maths S ES STI

Soit $f$ un polynôme du $2^{\text{nd}}$ degré tel que $f(2)=3$ et $f(10)=3$. Déterminer l'abscisse du sommet.

Exercice 6: Variations, maximum et minimum d'un polynôme du second degré - Première spé maths S ES STI

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$:
$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=x^2-2x+3$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=-2(x+1)^2-3$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=(4-2x)(x-3)$

Exercice 7: Déterminer la parabole connaissant un point et le sommet - Première spé maths S ES STI

Soit une parabole qui admet pour sommet le point (2;1) et qui passe par le point (1;3). Déterminer la fonction $f$ qui correspond à cette parabole.

Exercice 8: Reconnaitre la fonction qui correspond à une parabole - Première spé maths S ES STI

On a tracé la parabole représentant une fonction polynôme $f$ du second degré:
courbe 2nd degré
A l'aide du graphique, déterminer $f$.

Exercice 9: Reconnaitre la fonction qui correspond à une parabole - Première spé maths S ES STI

On a représenté les courbes de cinq fonctions: $f, g, h, k, m$.
$f(x)=x^2-6x+8$
$g(x)=-2x^2+2x+1$
$h(x)=2x-1$
$k(x)=(x-1)^2+3$
$m(x)=x^2+4x+4$
Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond, en justifiant:
courbe 2nd degré

Exercice 10: QCM - polynôme du second degré - forme canonique - sommet Première spé maths S ES STI

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses:
  1. La courbe de la fonction $f(x)=2(1-x)^2-3$ est une parabole tournée vers le haut.
  2. La courbe de la fonction $f(x)=-2x^2+12x-17$ est une parabole et son sommet a pour abscisse 3.
  3. La courbe de la fonction $f(x)=3(x+2)^2+5$ est une parabole et le sommet a pour coordonnées (-2;5).

Exercice 11: Tableau de variations et polynôme du 2nd degré - Première spé maths S ES STI

On donne le tableau de variation d'une fonction $f$:
variation second degré
Parmi les fonctions suivantes, une est $f$. Laquelle? Justifier.
$ x\rightarrow (x-3)^2+5$ $ x\rightarrow (x+3)^2+5$ $ x\rightarrow -(x-3)^2+5$ $ x\rightarrow -(x-5)^2+3$

Exercice 12: QCM - variations et forme canonique - polynôme du 2nd degré Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, indiquer la ou les bonnes réponses:
  1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3(x-1)^2-2$:
    1. $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$.
    2. Pour $x\leqslant 1$, $f(x)\leqslant 0$.
    3. $f$ admet un maximum en $1$.
  2. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-(x+4)^2-3$:
    1. Le maximum de $f$ est $4$.
    2. $f$ admet un maximum en $-4$.
    3. Pour tout $x$, $f(x)\leqslant 0$.
  3. Soit $f:x\rightarrow -3(x-4)^2+7$:
    1. L'équation $f(x)=8$ admet des solutions.
    2. L'équation $f(x)=0$ admet 2 solutions.

Exercice 13: Polynôme du second degré et Bénéfice maximal - Première spé maths S ES STI

Un pompiste vend le litre d'essence au prix de $1,20$ € . Le prix d'achat est pour lui de $0,85$ €, le litre. Il sait qu'il peut compter sur une vente journalière de $1 000$ litres et qu'à chaque baisse de $1$ centime qu'il consent pour le prix du litre, il vendra $100$ litres de plus par jour. À quel prix le pompiste doit-il vendre le litre d'essence pour faire un bénéfice maximal et quelle est la valeur de ce bénéfice maximal ?

Exercice 14: Polynôme du second degré et aire maximale - Première spé maths S ES STI

$ABCD$ est un carré de côté $10$ cm et $M$ est un point de $[AB]$ (distinct de $A$ et de $B$) et $AMON$ est un carré de côté $x$.
aire et second degré
  1. Montrer que l'aire grise (en $\text{cm}^2$) s'écrit $-x^2 + 5x + 50$.
  2. Où placer le point $M$ pour obtenir la plus grande aire grise possible ? Que vaut alors l'aire grise ?

Exercice 15: Traduire un problème en équation du 2nd degré - Trouver le maximum - Algorithme - Première spé maths S ES STI

Une agence immobilière possède $200$ studios qui sont tous occupés quand le loyer est de $700$ euros par mois. L'agence estime qu'à chaque fois qu'elle augmente le loyer de $5$ euros, un appartement n'est plus loué. On note $x$ le nombre d'augmentations de $5$ euro sur le loyer mensuel.
  1. Montrer que le revenu mensuel de l'agence (en euros) s'écrit : $-5x^2 + 300x +140000$.
  2. En déduire le montant du loyer pour maximiser le revenu mensuel de l'agence.
  3. Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de retrouver la réponse à ce problème.

Exercice 16: Polynôme du second degré et aire maximale - Enclos - Première spé maths S ES STI

On souhaite délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur à l'aide d'une clôture en grillage de $80$ mètres de long comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
enclos & 2nd degré
Quelles sont les dimensions de l'enclos pour obtenir la plus grande surface possible ?

Exercice 17: Polynôme du second degré - Démonstrations - Variations - Première spé maths S ES STI

En utilisant la définition d'une fonction strictement croissante sur un intervalle (puis celle d'une fonction strictement décroissante), démontrer que :
  1. la fonction $f : x \mapsto 2(x-3)^2 -1$ est strictement croissante sur $[3~;~+\infty[$.
  2. la fonction $f : x \mapsto -3(x+1)^2 + 5$ est strictement décroissante sur $[-1~;~+\infty[$.
  3. la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ est strictement décroissante sur $]-\infty~;~2]$.


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