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Exercices 1:
Dans chaque cas, dire s'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré.
Dans l'affirmative, donner les coefficients $a$, $b$, $c$.
a) $-2x^2+5$ b) $(1-2x)^2$ c)
$\frac{x^2+6x-1}3$ d) $(3x-2)^2-9x^2$
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Exercices 2: Écrire un polynôme sous forme canonique - Première S - ES -STI
Dans chaque cas, déterminer la forme canonique des trinômes suivants:
| a) $x^2+6x+1$ |
b) $-2x^2+5$ |
| c) $2x^2+x$ |
d) $(1-2x)^2$ |
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Exercices 3: Parabole - coordonnées du sommet - polynôme du second degré - Première S
- ES - STI
On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction $f$.
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du sommet de $\mathscr{P}$:
| a) $f(x)=-x^2+4x+1$ |
b) $f(x)=2(x+3)^2-7$ |
c) $f(x)=(1-x)(x+3)$ |
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Exercices 4: Abscisse du sommet d'une parabole
Soit $f$ un polynôme du $2^{\text{nd}}$ degré tel que $f(2)=3$ et $f(10)=3$.
Déterminer l'abscisse du sommet.
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Exercices 5: Variations, maximum et minimum d'un polynôme du second degré - Première S
- ES - STI
Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$:
| a) $f(x)=x^2-2x+3$ |
b) $f(x)=-2(x+1)^2-3$ |
c) $f(x)=(4-2x)(x-3)$ |
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Exercices 6: Déterminer la parabole connaissant un point et le sommet
Soit une parabole qui admet pour sommet le point (2;1) et qui passe par le point (1;3).
Déterminer la fonction $f$ qui correspond à cette parabole.
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Exercices 7: Reconnaitre la fonction qui correspond à une parabole
On a représenté les courbes de cinq fonctions: $f, g, h, k, m$.
$f(x)=x^2-6x+8$
$g(x)=-2x^2+2x+1$
$h(x)=2x-1$
$k(x)=(x-1)^2+3$
$m(x)=x^2+4x+4$
Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond, en justifiant:
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Exercices 8: QCM - polynôme du second degré - forme canonique - sommet
Préciser si les affirmations sont vraies ou fausses:
1) La courbe de la fonction $f(x)=2(1-x)^2-3$ est une parabole tournée vers le haut.
2) La courbe de la fonction $f(x)=-2x^2+12x-17$ est une parabole et son sommet a pour abscisse 3.
3) La courbe de la fonction $f(x)=3(x+2)^2+5$ est une parabole et le sommet a pour coordonnées (-2;5).
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Exercices 9: Tableau de variations et polynôme du 2nd degré
On donne le tableau de variation d'une fonction $f$:
Parmi les fonctions suivantes, une est $f$. Laquelle? Justifier
$x\rightarrow (x-3)^2+5$
$x\rightarrow (x+3)^2+5$
$x\rightarrow -(x-3)^2+5$
$x\rightarrow -(x-5)^2+3 $
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Exercices 10: QCM - variations et forme canonique - polynôme du 2nd degré
Dans chaque cas, indiquer la ou les bonnes réponses:
1) Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3(x-1)^2-2$
a) $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$
b) Pour $x\le 1$, $f(x)\le 0$
c) $f$ admet un maximum en 1
2) Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-(x+4)^2-3$
a) Le maximum de $f$ est 4
b) $f$ admet un maximum en -4
c) Pour tout $x$, $f(x)\le 0$
3) Soit $f:x\rightarrow -3(x-4)^2+7$
a) L'équation $f(x)=8$ admet des solutions
b) L'équation $f(x)=0$ admet 2 solutions
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Exercices 11: Polynôme du second degré et Bénéfice maximal
Un pompiste vend le litre d'essence au prix de $1,20$ € . Le prix d'achat est pour lui de $0,85$ €,
le litre.
Il sait qu'il peut compter sur une vente journalière de $1 000$ litres et qu'à chaque baisse de $1$ centime
qu'il consent pour le prix du litre, il vendra $100$ litres de plus par jour.
À quel prix le pompiste doit-il vendre le litre d'essence pour faire un bénéfice maximal et quelle est la valeur
de ce bénéfice maximal ?
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Exercices 12: Polynôme du second degré et aire maximale
$ABCD$ est un carré de côté $10$ cm et $M$ est un point de $[AB]$ (distinct de $A$ et de $B$) et $AMON$ est un
carré de côté $x$.
1) Montrer que l'aire grise (en $\text{cm}^2$) s'écrit $-x^2 + 5x + 50$.
2) Où placer le point $M$ pour obtenir la plus grande aire grise possible ? Que vaut alors l'aire grise ?
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Exercices 14: Polynôme du second degré et aire maximale - Enclos
On souhaite délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur à l'aide d'une clôture en grillage de $80$ mètres
de long comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Quelles sont les dimensions de l'enclos pour obtenir la plus grande surface possible ?
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Exercices 15: Polynôme du second degré - Démonstrations - Variations
En utilisant la définition d'une fonction strictement croissante sur un intervalle (puis celle d'une fonction
strictement décroissante), démontrer que :
1) la fonction $f : x \mapsto 2(x-3)^2 -1$ est strictement croissante sur $[3~;~+\infty[$.
2) la fonction $f : x \mapsto -3(x+1)^2 + 5$ est strictement décroissante sur $[-1~;~+\infty[$.
3) la fonction $f : x \mapsto \frac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ est strictement décroissante sur $]-\infty~;~2]$.
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