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Exercices 2: Série TF1 Demain nous appartient - Trouver les 3 erreurs!
Première Spécialité maths
STI
Regarder cette image tirée de la série, Demain nous appartient, et trouver les 2 erreurs qui se sont glissées!
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Exercices 3: Résoudre des équations du second degré - Première S - Première
Spécialité maths -
STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[-\frac 12 x^2+\frac 32x-\frac
98=0\]
b) \[-\frac 1{10}x^2+\frac 15=-\frac
1{10}\]
c) \[ -1,3x^2+0,2x+2,6=0\]
d) \[ 2x^2-3x=0\]
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Exercices 4: équation se ramenant à une équation du second degré - Première S -
Première Spécialité maths - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) $-2x^3+3x^2=x$
b) $x^4+x^5+x^6=0$
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Exercices 5: Résoudre une équation du second degré graphiquement et par le
calcul - Première S - Première Spécialité maths -STI
On a tracé la parabole représentant la fonction $f:\to -x^2+x+4$.
1) Résoudre graphiquement $-x^2+x+4=0$.
2) Résoudre algébriquement $-x^2+x+4=0$.
Exercices 6:
Intersection de 2 courbes & équation du second
degré - Première Spécialité maths
On a tracé la parabole représentant la fonction $f:x\to x^2+2x-1$ et la droite d'équation $y=\frac 12
x+1$.
1) Résoudre graphiquement $x^2+2x-1=\frac 12 x+1$.
2) Résoudre algébriquement $x^2+2x-1=\frac 12 x+1$.
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Exercices 7: Discriminant pas toujours utile pour résoudre des équations du
second degré - Première S - ES - STI
Résoudre sans calculer le discriminant les équations suivantes sur $\mathbb{R}$ :
a) $2x^2 - 6 = 0$ b) $4x^2 - 6x = 0$
c) $x^2 + 2 = 0$
d) $(2x - 1)^2= 25$
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Exercices 8: équation avec fraction se ramenant à une équation du second degré -
Première S - Première Spécialité maths - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[ \frac {x-1}{2x-4}=0\]
b) \[ \frac 1x =x\]
c)\[ \frac{x^2-9}{3-x}=0\]
Exercices 9: équation se ramenant à une équation du second degré - Première S -
Première Spécialité maths - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[ \frac 1x+\frac {2}{1-2x}=0\]
b) \[ \frac 1{x^2}-\frac 2x =3\]
c) \[ \frac2{x-1}-\frac 2x=1\]
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Exercices 10: Lire le discriminant, a et c - Première S - Première Spécialité
maths - STI
Les graphiques ci-dessous correspondent chacun à la courbe d'une fonction $f:x\to ax^2+bx+c$.
Dans chaque cas, que peut-on dire de $a$, $c$ et du discriminant $\Delta$.
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Exercices 12: Déterminer un polynôme du second degré - Première S - Première
Spécialité maths -
STI
Dans chaque cas, déterminer une fonction polynôme du second degré $\rm P$ telle que:
1) P admet pour racine les nombres $-1$ et $3$.
2) P admet pour racine les nombres $0$ et $-3$ et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.
3) P admet une racine double égale à $2$ et admet un minimum sur $\mathbb{R}$.
4) P n'admet aucune racine et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.
5) P admet un maximum en $3$ qui vaut $4$.
Exercices 13: Tableau de variations & fonction du second degré - Première S -
Première Spécialité maths
- STI
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ du second degré.
Proposer une valeur pour le ? telle que:
1) Le discriminant de l'équation $f(x)=0$ soit strictement positif.
2) Le discriminant de l'équation $f(x)=2$ soit strictement négatif.
Exercices 14: Intersection de 2 courbes & équation du second degré - Première S -
ES - STI
On a tracé la courbe de fonction $f$ définies sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ par $\displaystyle
f(x)=\frac 2x$
et la courbe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=1-x$
1) Déterminer graphiquement l'intersection des courbes de $f$ et $g$.
2) Refaire la question précédente par le calcul.
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Exercices 15: Résoudre une équation avec racine carrée à l'aide du second degré -
Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $x=\sqrt x +2$.
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Exercices 16: Résoudre une équation avec racine carrée à l'aide d'un changement de variable -
Première S - ES - STI - Spécialité maths
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $x+3\sqrt x -10=0$.
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Exercices 17: Distance d'un point à une courbe & second degré - Première S - ES -
STI
Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction racine carrée et $\rm A$
est
le point de coordonnées $(2;0)$.
1) Déterminer graphiquement quel est le point de $\mathscr{C}$ qui est le plus proche de $\rm A$.
2) Refaire la question 1) par le calcul.
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Exercices 18: Utiliser le discriminant - Première S - ES - STI
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.
Son discriminant est noté $\Delta$, sa courbe est la parabole notée $\mathscr{P}$ et son sommet est noté
$\rm S$.
1) Si $a>0$ et $\Delta$<$0$, que peut-on dire du sommet $\rm S$?
2) Si $\Delta$ > $0$ et l'ordonnée de $\rm S$ est positive, que peut-on dire de $a$?
3) Si $a$ et $c$ sont non nuls et de signes contraires, $\mathscr{P}$ coupe combien de fois l'axe des
abscisses?
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Exercices 19: Résoudre une équation du troisième degré à l'aide du second degré -
Première S - ES - STI
1) Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ :
\[x^3 -2x - 1 = (x + 1)(ax^2 + bx + c)
\]
2) Résoudre l'équation $x^3 -2x-1 = 0$
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Exercices 20: Equation du second degré dépendant d'un paramètre - Première S - ES
- STI
Soit $m$ un nombre réel, on considère l'équation :
\[x^2 + mx + m + 1 = 0
\]
Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre $m$ l'équation ci-dessus admet-elle une unique solution ?
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Exercices 21: Problème se ramenant à une équation du second degré - Première S -
ES - STI
Trouver tous les triangles rectangles dont les mesures des côtés sont des entiers
consécutifs.
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Exercices 22: Volume d'un cube et équation du second degré - Première S - ES -
STI
Si on augmente de deux centimètres la longueur de l'arête d'un cube,
son volume augmente alors de 2 402 cm3. Combien mesure l'arête de ce cube ?
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Exercices 23: Dimension d'un rectangle et équation du second degré - Première S -
ES - STI
Quelles sont les dimensions d'un rectangle de $34$ cm de périmètre et de $60$ cm2 d'aire ?
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Exercices 24: Signe de a et c et nombre de solutions d'équation du second degré -
Première S - Première Spécialité maths - STI
On considère l'équation $ax^2+bx+c = 0$ d'inconnue $x$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a \neq
0$.
1) Démontrer la proposition suivante :
Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors l'équation $ax^2+bx+c = 0$ possède au moins
une solution réelle.
2) La réciproque est-elle vraie ? Justifier.
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Exercices 25: Problème de mise en équation - Second degré - Première S - Première
Spécialité maths -
STI
Avec $180$ € j'ai acheté un certain nombre d'articles identiques. Si chaque article avait coûté $3$
€ de moins, j'aurais pu en acheter $3$ de plus. Combien en ai-je acheté ?
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Exercices 26: Points d'intersection de 2 courbes & équation du second degré -
Première Spécialité maths - STI
On considère la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2} x + 1$ et la parabole $\mathscr{P}$
d'équation $y = x^2 - \frac{3}{2}x - 1$.
Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{P}$.
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Exercices 27: Problème de vitesse de train & équation du second degré - Première
S - ES - STI
Deux trains A et B partent en même temps d'une même gare, l'un
vers le nord et l'autre vers l'est. Le train A se déplace à $25$ km/h de
plus en moyenne que le train B.
Après $2$ heures, ils sont à $250$ km de distance (à vol d'oiseau)
l'un de l'autre.
Trouver la vitesse moyenne de chaque train.
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Exercices 28: équation bicarrée et second degré - Première S - Première
Spécialité maths
On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$ : $x^4 - x^2 - 6 = 0$.
1) Montrer que si un nombre réel $x$ est solution de l'équation $(E)$
alors le nombre $X$ défini par $X = x^2$ vérifie $X^2 -X -6 = 0$.
2) Déterminer les valeurs possibles de $X$.
3) Résoudre l'équation $(E)$.
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Exercices 29: Démonstration des formules du cours - Discriminant & racines -
Première S - ES - STI
Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels avec $a\neq 0$, on admet que pour tout réel $x$, on a :
\[ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}+c
\]
1) Montrer que pour tout réel $x$, $ax^2+bx+c = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2
-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$.
2) On pose $\Delta = b^2 -4ac$.
a) Montrer que si $\Delta$ <0, l'équation $ax^2+bx+c =0$ n'a pas de
solutions réelles.
b) Montrer que si $\Delta \geqslant 0$, on a $ax^2+bx+c = a\Big(x+\frac{b}{2a}
-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)$.
3) Montrer que si $\Delta \geqslant 0$, l'équation $ax^2+bx+c =0$ a des solutions réelles et exprimer
les solutions en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
Exercices 30: équation du second degré avec paramètre - Première Spécialité maths
-
STI
Déterminer $m$ pour que l'équation $5x^2-2mx+m=0$ admette -2 comme solution.
Donner l'autre solution.
Exercices 31: équation du second degré et racine double - Première Spécialité
maths -
STI
Déterminer $a$ pour que l'équation $ax^2-12x+9=0$ admette une racine double.
Donner cette racine double.
Exercices 32: équation du équation du second degré n'ayant pas de solution réelle
- Première S - ES - STI
Déterminer $m$ pour que l'équation $2x^2+4x+m=0$ n'admette pas de solution dans $\mathbb{R}$.
Exercices 33: équation du second degré avec paramètre - Première Spécialité maths
-
STI
Déterminer $m$ pour que l'équation $2x^2+mx+2=0$ n'admette pas de solution dans $\mathbb{R}$.
Exercices 34: équation du second degré avec paramètre - Première S - ES -
STI
Déterminer $m$ pour que l'équation $mx^2+(m-2)x-2=0$ admette une seule solution.
Exercices 35: Résoudre un système à l'aide d'une équation du second degré -
Produit et somme - Première Spécialité maths -
STI
Résoudre le système $\left\{
\begin{array}{rl}
x + y &= 2 \\
xy&= -3
\end{array}
\right.$ où $x$ et $y$ sont des réels.
Exercices 36: Résoudre un système à l'aide d'une équation du second degré -
Produit et somme - Première Spécialité maths -
STI
Soient $x$ et $y$ réels tels que $\left\{
\begin{array}{rl}
x + y &= s \\
xy&= p
\end{array}
\right.$ où $s$ et $p$ sont des réels.
1) Montrer que $x$ et $y$ sont racines de $X^2-sX+p$.
2) En déduire les solutions du système $\left\{
\begin{array}{rl}
x + y &= 2 \\
xy&= -3
\end{array}
\right.$
Exercices 37: Résoudre un système à l'aide d'une équation du second degré -
Produit et somme - Première Spécialité maths -
STI
Résoudre le système $\left\{
\begin{array}{rl}
x + y &= 2 \\
\displaystyle \frac 1x+\frac 1y&= \displaystyle -\frac 34
\end{array}
\right.$ où $x$ et $y$ sont des réels.
Exercices 38: domaine de définition d'une fonction et équation du second degré -
Première Spécialité maths -
STI
Déterminer le domaine de définition de la fonction $f: x\to \displaystyle \frac 1{-2x^2-3x+2}$
Web
