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Equation du second degré

Résoudre $ax^2+bx+c=0$
avec $a\ne 0$
sinon ce n'est pas une équation du second degré!
    
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Regarder les vidéos:
      - ne pas confondre équation et égalité
      - Résoudre une équation graphiquement
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo

Comment résoudre une équation du second degré

: regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Commencer par 
    On essaye de résoudre en factorisant, sans utiliser le discriminant
    Pour factoriser, 2 techniques:
    - Le facteur commun
    - L'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$


    Résoudre $4x^2=x$
    $4x^2=x$
    $\Leftrightarrow 4x^2-x=0$
    On se ramène à ...=0

    $\Leftrightarrow x(4x-1)=0$
    On factorise

    $\Leftrightarrow x=0$ ou $4x-1=0$
    On applique la règle du produit nul
    $\rm A\times B=0\Leftrightarrow A=0$ ou $\rm B=0$

    $\Leftrightarrow x=0$ ou $x=\frac 14$
  • Dans les autres cas  
    Quand on ne peut pas factoriser,
    On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$
    Discriminer signifie traiter différement selon les cas.
    Le discriminant sert justement à cela.
    Le discriminant permet de savoir combien, il y a de solution.
    Pour cela, il suffit de regarder son signe, comme expliqué ci-après.

  • Si $\Delta\gt 0$  
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions:
    $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$


    On peut factoriser $ax^2+bx+c$
    $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

    La parabole
    La parabole coupe deux fois l'axe des abscisses, en $x_1$ et $x_2$.
  • Si $\Delta = 0$  
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ a une seule solution:
    $x_1=\frac{-b}{2a}$
    On retrouve cette formule,
    en appliquant les formules avec $\Delta \gt 0$ avec $\Delta=0$


    On peut factoriser $ax^2+bx+c$
    $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)=a(x-x_1)^2$

    La parabole
    La parabole coupe une seule fois l'axe des abscisses, en $x_1$.
  • Si $\Delta \lt 0$  
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$
    Vous verrez peut-etre plus tard que
    l'équation a quand même des solutions
    qui ne sont pas des nombres réels,
    mais des nombres complexes.


    On ne peut pas factoriser $ax^2+bx+c$ dans $\mathbb{R}$.
    La parabole
    La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
  • Les solutions s'appellent aussi 
    Les solutions de
    $ax^2+bx+c=0$
    s'appellent aussi
    les racines.
  • Si les coefficients sont compliqués 
    Penser à multiplier à gauche et à droite par un même nombre
    de façon à avoir des coefficients plus simples

    Exemple:
    $-\frac 12x^2+\frac 14 x+1=0$
    Ici on peut tout multiplier par 4:
    $-\frac 12x^2+\frac 14 x+1=0$
    $\Updownarrow$
    $-2x^2+x+4=0$

    Du coup, on a des coefficients plus simples
    pour calculer $\Delta$

Démonstrations des formules du cours - Discriminant et racines

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Somme et produit des racines

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  • Racine évidente  
    Une racine évidente est une valeur évidente qui annule le polynôme.
    En général, on la cherche parmi 1, -1, 2 et -2.

    Exemple:
    Trouver une racine évidente de $7x^2-4x-3=0$
    Si on remplace $x$ par 1 dans $7x^2-4x-3$
    on obtient 0.
    Donc $1$ est racine évidente de $7x^2-4x-3$.

  • Formule à connaitre  
    Si une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$
    avec $a\ne 0$
    sinon ce n'est pas du second degré!

    peut se factoriser $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
    alors
    $\boldsymbol{\displaystyle x_1+x_2=-\frac ba}$ et $\boldsymbol{\displaystyle x_1\times x_2=\frac ca}$
  • Application  
    Si on connait une racine $x_1$ de $ax^2+bx+c$
    avec $a\ne 0$
    sinon ce n'est pas du second degré!

    alors
    on peut trouver facilement l'autre racine éventuelle $x_2$,
    sans utiliser le discriminant !

    Pour cela, on utilise l'une des 2 formules:
    $\boldsymbol{\displaystyle x_1+x_2=-\frac ba}$ ou $\boldsymbol{\displaystyle x_1\times x_2=\frac ca}$

    Exemple:
    1) Trouver une racine évidente de $7x^2-4x-3=0$
    2) En déduire l'autre racine.
    Si on remplace $x$ par 1 dans $7x^2-4x-3$
    on obtient 0.
    Donc $1$ est racine évidente de $7x^2-4x-3$.
    Pour trouver l'autre racine, on utilise par exemple:
    $\displaystyle x_1\times x_2=\frac ca$
    ce qui donne
    $\displaystyle 1\times x_2= \frac{-3}7$





Equation cas général

♦ Savoir résoudre une équation dans le cas général: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Essaye d'isoler $x$ 
  • Sinon essaye de factoriser
    Si tu n'arrives pas isoler $x$
    1) Ecris l'équation sous la forme ....=0
    2) Factorise au maximum
    3) Applique la règle du produit nul
    4) Conclus

    Exemple:
    Résous $4x^2=x$
    $4x^2=x$
    $\Leftrightarrow 4x^2-x=0$
    On se ramène à ...=0

    $\Leftrightarrow x(4x-1)=0$
    On factorise

    $\Leftrightarrow x=0$ ou $4x-1=0$
    On applique la règle du produit nul
    $\rm A\times B=0\Leftrightarrow A=0$ ou $\rm B=0$

    $\Leftrightarrow x=0$ ou $x=\frac 14$
  • Sinon regarde s'il s'agit d'une équation du second degré
    Si tu n'arrives à factoriser
    regarde s'il s'agit d'une équation du second degré,
    et dans ce cas,
    applique la méthode des équations du second degré,
    avec le discriminant.
  • S'il y a des fractions
    1) Mets tout au même dénominateur.
    2) Jusqu'à obtenir une équation de la forme $\rm \frac AB=0$.
    On peut aussi utiliser
    le produit en croix

    3) Résous $\rm A=0$
    4) Toujours vérifier que les solutions trouvées au 3) n'annulent pas le dénominateur.
    Sinon ce sont des
    valeurs interdites!
    Et on ne peut donc pas les garder.


    Exemple:
    Résoudre $\frac 1x+\frac 1{x-1}=0$
    $\frac 1x+\frac 1{x-1}=0$
    $\Leftrightarrow \frac{x-1+x}{x(x-1)}=0$
    $\Leftrightarrow \frac{2x-1}{x(x-1)}=0$

    On résout $2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac 12$
    On remplace $\frac 12$ dans le dénominateur $x(x-1)$
    ce qui donne $\frac 12 \times (\frac 12 -1)$
    ce qui ne fait pas 0
    On peut donc garder $\frac 12$
    L'équation a donc une solution $\frac 12$.
  • Ne pas confondre équation et égalité
    Dans une égalité ..=... Dans une équation ..=...
    Si la question est
    Si la question est
    Démontrer que $...=....$
    il s'agit d'une égalité.
    Parfois au lieu de "démontrer que",
    on utilise un synonyme
    "Vérifier que", "Montrer que", "Justifier que".
    Il s'agit alors d'une égalité!


    Si la question est
    Si la question est
    Résoudre $...=....$
    il s'agit d'une équation.

    Démontrer une égalité
    C'est montrer que
    la partie gauche et la partie droite
    sont toujours égales
        
    Résoudre une équation
    C'est trouver
    toutes les valeurs de l'inconnue,
    pour lesquelles la partie gauche et la partie droite
    sont égales. Ces valeurs s'appellent les solutions.

    Pour démontrer une égalité
    on transforme la partie gauche
    Pour transformer,
    en général,
    on met au même dénominateur,
    on développe,
    ou on factorise.

    jusqu'à obtenir la partie droite.
    Pour montrer une égalité du type A=B
    On peut aussi:
    Transformer la partie droite jusqu'à obtenir la partie gauche
    ou
    • Calculer A-B et montrer que ça fait 0.

            
    Pour résoudre une équation
    On utilise
    les techniques expliquées précédement,
    Equation cas général
  • Pour savoir si un nombre est solution
    Pour savoir si un nombre est solution d'une équation

    Remplace le nombre dans l'équation.
    • Si tu obtiens quelque chose de la forme A=A alors le nombre est solution.
    • Sinon le nombre n'est pas solution.


Résumé du Cours: en vidéo Cours de math en vidéo

Exercice en ligne Exercices 1: Comprendre le lien entre le discriminant et la parabole - Première S - Première Spécialité maths - STI
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Résoudre une équation du second degré calcul - Première S - Première Spécialité maths -STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) $3x^2-4x+2=0$     b) $2x^2+x-1=0$     c) $4x^2-4x=-1$
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Résoudre une équation du second degré graphiquement et par le calcul - Première S - Première Spécialité maths - STI
On a tracé la parabole représentant la fonction $f:\to -x^2+x+4$.

1) Résoudre graphiquement $-x^2+x+4=0$.
2) Résoudre algébriquement $-x^2+x+4=0$.
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Série TF1 Demain nous appartient - Trouver les 3 erreurs! Première Spécialité maths STI
Regarder cette image tirée de la série, Demain nous appartient, et trouver les 2 erreurs qui se sont glissées!
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Lire le discriminant, a et c - Première S - Première Spécialité maths - STI
Les graphiques ci-dessous correspondent chacun à la courbe d'une fonction $f:x\to ax^2+bx+c$.

Dans chaque cas, que peut-on dire de $a$, $c$ et du discriminant $\Delta$.
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Déterminer un polynôme du second degré connaissant la parabole - Première S - ES - STI
Les graphiques ci-dessous correspondent chacun à la courbe d'une fonction polynôme du second degré $f$.

Dans chaque cas, déterminer $f(x)$.
Corrigé en vidéo! Exercices 7: Déterminer un polynôme du second degré - Première S - Première Spécialité maths - STI
Dans chaque cas, déterminer une fonction polynôme du second degré $\rm P$ telle que:
1) P admet pour racine les nombres $-1$ et $3$.
2) P admet pour racine les nombres $0$ et $-3$ et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.
3) P admet une racine double égale à $2$ et admet un minimum sur $\mathbb{R}$.
4) P n'admet aucune racine et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.
5) P admet un maximum en $3$ qui vaut $4$.
Corrigé en vidéo! Exercices 8: Résoudre des équations du second degré - Première S - Première Spécialité maths - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[-\frac 12 x^2+\frac 32x-\frac 98=0\] b) \[-\frac 1{10}x^2+\frac 15=-\frac 1{10}\]
c) \[ -1,3x^2+0,2x+2,6=0\] d) \[ 2x^2-3x=0\]
Corrigé en vidéo! Exercices 9: équation se ramenant à une équation du second degré - Première S - Première Spécialité maths - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) $-2x^3+3x^2=x$ b) $x^4+x^5+x^6=0$
Exercices 10: Intersection de 2 courbes & équation du second degré - Première Spécialité maths
On a tracé la parabole représentant la fonction $f:x\to x^2+2x-1$ et la droite d'équation $y=\frac 12 x+1$.

1) Résoudre graphiquement $x^2+2x-1=\frac 12 x+1$.
2) Résoudre algébriquement $x^2+2x-1=\frac 12 x+1$.
Corrigé en vidéo! Exercices 11: Discriminant pas toujours utile pour résoudre des équations du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre sans calculer le discriminant les équations suivantes sur $\mathbb{R}$ :
a) $2x^2 - 6 = 0$ b) $4x^2 - 6x = 0$ c) $x^2 + 2 = 0$ d) $(2x - 1)^2= 25$
Corrigé en vidéo! Exercices 12: équation avec fraction se ramenant à une équation du second degré - Première S - Première Spécialité maths - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[ \frac {x-1}{2x-4}=0\] b) \[ \frac 1x =x\] c)\[ \frac{x^2-9}{3-x}=0\]
Exercices 13: équation se ramenant à une équation du second degré - Première S - Première Spécialité maths - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[ \frac 1x+\frac {2}{1-2x}=0\] b) \[ \frac 1{x^2}-\frac 2x =3\] c) \[ \frac2{x-1}-\frac 2x=1\]
Exercices 14: Tableau de variations & fonction du second degré - Première S - Première Spécialité maths - STI
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ du second degré.

Proposer une valeur pour le ? telle que:
1) Le discriminant de l'équation $f(x)=0$ soit strictement positif.
2) Le discriminant de l'équation $f(x)=2$ soit strictement négatif.

Exercices 15: Intersection de 2 courbes & équation du second degré - Première S - ES - STI
On a tracé la courbe de fonction $f$ définies sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ par $\displaystyle f(x)=\frac 2x$
et la courbe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=1-x$

1) Déterminer graphiquement l'intersection des courbes de $f$ et $g$.
2) Refaire la question précédente par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 16: Résoudre une équation avec racine carrée à l'aide du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation:   $x=\sqrt x +2$.


Corrigé en vidéo! Exercices 17: Résoudre une équation avec racine carrée à l'aide d'un changement de variable - Première S - ES - STI - Spécialité maths
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation:   $x+3\sqrt x -10=0$.


Corrigé en vidéo! Exercices 18: Distance d'un point à une courbe & second degré - Première S - ES - STI
Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction racine carrée et $\rm A$ est
le point de coordonnées $(2;0)$.

1) Déterminer graphiquement quel est le point de $\mathscr{C}$ qui est le plus proche de $\rm A$.
2) Refaire la question 1) par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 19: Utiliser le discriminant - Première S - ES - STI
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.
Son discriminant est noté $\Delta$, sa courbe est la parabole notée $\mathscr{P}$ et son sommet est noté $\rm S$.
1) Si $a>0$ et $\Delta$<$0$, que peut-on dire du sommet $\rm S$?
2) Si $\Delta$ > $0$ et l'ordonnée de $\rm S$ est positive, que peut-on dire de $a$?
3) Si $a$ et $c$ sont non nuls et de signes contraires, $\mathscr{P}$ coupe combien de fois l'axe des abscisses?
Corrigé en vidéo! Exercices 20: Résoudre une équation du troisième degré à l'aide du second degré - Première S - ES - STI
1) Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ :
\[x^3 -2x - 1 = (x + 1)(ax^2 + bx + c) \] 2) Résoudre l'équation $x^3 -2x-1 = 0$
Corrigé en vidéo! Exercices 21: Equation du second degré dépendant d'un paramètre - Première S - ES - STI
Soit $m$ un nombre réel, on considère l'équation :
\[x^2 + mx + m + 1 = 0 \] Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre $m$ l'équation ci-dessus admet-elle une unique solution ?
Corrigé en vidéo! Exercices 22: Problème se ramenant à une équation du second degré - Première S - ES - STI
Trouver tous les triangles rectangles dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs.



Equation du second degré : Exercices

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES, STI et STMG depuis 24 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STMG depuis 15 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie