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1re Spé Maths

Fonction exponentielle - Règles de calcul

Conseils
Fonction exponentielle - Définition - Propriétés
Exercice type

Pour savoir calculer avec l'exponentielle


Exercice type

Pour savoir résoudre des équations avec l'exponentielle


Exercice type

Pour savoir résoudre des inéquations avec l'exponentielle

Exercice type

Suite géométrique & Exponentielle

Exercice type

Exponentielle kx $e^{kx}$

Cours

ce qu'il faut savoir sur la fonction exponentielle pour faire les exercices

Carte mentale exponentielle Tout ce qu'il faut savoir en une image

Règles de calcul

Signe et variation

• Équations
• Inéquations

Méthode d'Euler

(difficile): Comment obtenir la courbe de l'exponentielle?
• Comprendre la

définition mathématique

(difficile)

Exercice

1: Calculer avec des exponentielles
Simplifier chaque expression: $a)~ \displaystyle \dfrac {(e^{-2x})^3 e^{4x}}{e^{-2x}}$     $b)~ \dfrac{(e^{1-0,5x})^3}{e\times e^{-4,5x}}$
Exercice 2 Savoir calculer avec des exponentielles
Simplifier les expressions suivantes où \(x\) est un réel quelconque:
$ a)~\dfrac{e^{1+x}}{e^{x+2}}$     $ b)~\dfrac{e^{3x}+e^x}{e^{2x}+e^x}$   $ c)~\left(\dfrac{e}{e^{-x}}\right)^4$
Exercice 3: Egalité et exponentielle
Montrer que pour tout $x$ réel: $\displaystyle \dfrac {(e^x-1)(e^x+1)}{e^{2x}}=1-e^{-2x}$
Exercice 4: Egalité et exponentielle
Montrer que pour tout réel $x$: $\displaystyle \dfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$
Exercice 5 : Résoudre des

équations avec la fonction exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
$ a)~e^{3x-2}=e^{6-x}$   $ b)~e^{3x-2}=e$  $c)~e^{3x-2}=1$  $d)~e^{3x-2}=0$
Exercice 6 : Résoudre des

inéquations avec la fonction exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
$ a)~e^{3x-5}\gt e^{x-1}$   $ b)~e^{5-2x}\leqslant e$  $c)~e^{5-2x}\lt 1$  $d)~e^{5-2x}\geqslant 0$
Exercice 7 :

Courbe exponentielle e^kx

On a tracé les courbes des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}$, $g(x)=e^{0,5x}$ et $h(x)=e^{-x}$:
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond.
Exercice 8: suite géométrique & exponentielles
$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=3e^{0,8n}$.
Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique par deux méthodes. Préciser sa raison et son premier terme $u_0$.
Exercice 9 Résoudre des

équations avec la fonction exponentielle

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes:
$ a)~e^{2-x}=e^x$   $ b)~e^{2x+3}=1$  $c)~e^{5-x^2}=e$  $d)~e^{-x}=0$  $e)~2e^{-x}=\dfrac{4}{e^x+1}$   $f)~2e^{-x}=\dfrac{1}{e^x+1}$
Exercice 10:

Inéquation et fonction exponentielle

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation suivante: $1-e^{x^2-1}>0$
Exercice 11: Résoudre des

inéquations avec la fonction exponentielle

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes:
$a)~e^{2x}-e^{x+1}\lt0$   $b)~1-e^{x-2}\ge 0$   $c)~e^x-\dfrac{1}{e^x} \le 0$   $d)~\dfrac {1}{e^x}-e>0$
Exercice 12: Résoudre des équations et inéquations avec des exponentielles en posant X=e^x - changement d'inconnue.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes, en posant \(X=e^x\):
$ a)~2e^{2x}-e^x=1$   $b)~e^{2x}+2e^x-3\leqslant 0$
Exercice 13:

signe d' expression avec la fonction exponentielle

Déterminer le signe des expressions suivantes sur \(\mathbb{R}\):
$a)~1-e^x$   $b)~e^{2x}-1$   $c)~e^{2x}-e^{x+1}$   $d)~e^{(x^2)}-e^{x}$   $e)~1-\dfrac 1{e^{x}}$
Exercice 14: Déterminer le

Inégalité avec la fonction exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1-e^{-x}$.
  1. Démontrer que pour tout réel $x\lt 0$,   $f(x)\lt 0$
  2. Démontrer que pour tout réel $x\geqslant 0$,   $0\leqslant f(x)\lt 1$
Exercice 15: Déterminer le

Fonction exponentielle et inégalité

Démontrer que pour tout $x\in ]-\infty;0]$, $e^{5x}-3\lt 0$.


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