Exercice
1: Calculer avec des exponentielles
Simplifier chaque expression:
$a)~ \displaystyle \dfrac {(e^{-2x})^3 e^{4x}}{e^{-2x}}$ $b)~
\dfrac{(e^{1-0,5x})^3}{e\times e^{-4,5x}}$
Exercice
2 Savoir calculer avec des exponentielles
Simplifier les expressions suivantes où \(x\) est un réel quelconque:
$ a)~\dfrac{e^{1+x}}{e^{x+2}}$
$ b)~\dfrac{e^{3x}+e^x}{e^{2x}+e^x}$
$ c)~\left(\dfrac{e}{e^{-x}}\right)^4$
Exercice
3: Egalité et exponentielle
Montrer que pour tout $x$ réel:
$\displaystyle \dfrac {(e^x-1)(e^x+1)}{e^{2x}}=1-e^{-2x}$
Exercice
4: Egalité et exponentielle
Montrer que pour tout réel $x$:
$\displaystyle \dfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$
Exercice
5 : Résoudre des
équations avec la
fonction exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
$ a)~e^{3x-2}=e^{6-x}$
$ b)~e^{3x-2}=e$ $c)~e^{3x-2}=1$ $d)~e^{3x-2}=0$
Exercice
6 : Résoudre des
inéquations avec la
fonction exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
$ a)~e^{3x-5}\gt e^{x-1}$
$ b)~e^{5-2x}\leqslant e$ $c)~e^{5-2x}\lt 1$ $d)~e^{5-2x}\geqslant 0$
Exercice
7 :
Courbe exponentielle e^kx
On a tracé les courbes des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}$,
$g(x)=e^{0,5x}$ et $h(x)=e^{-x}$:
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond.
Exercice
8: suite géométrique & exponentielles
$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=3e^{0,8n}$.
Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique par deux méthodes. Préciser sa raison et son premier
terme $u_0$.
Exercice
9 Résoudre des
équations avec la
fonction exponentielle
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes:
$ a)~e^{2-x}=e^x$
$ b)~e^{2x+3}=1$ $c)~e^{5-x^2}=e$ $d)~e^{-x}=0$ $e)~2e^{-x}=\dfrac{4}{e^x+1}$
$f)~2e^{-x}=\dfrac{1}{e^x+1}$
Exercice
10:
Inéquation et fonction
exponentielle
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation suivante:
$1-e^{x^2-1}>0$
Exercice
11: Résoudre des
inéquations avec la
fonction exponentielle
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes:
$a)~e^{2x}-e^{x+1}\lt0$
$b)~1-e^{x-2}\ge 0$ $c)~e^x-\dfrac{1}{e^x} \le 0$ $d)~\dfrac {1}{e^x}-e>0$
Exercice
12: Résoudre des équations et inéquations
avec des exponentielles en posant
X=e^x - changement d'inconnue.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes, en posant \(X=e^x\):
$ a)~2e^{2x}-e^x=1$ $b)~e^{2x}+2e^x-3\leqslant 0$
Exercice
13:
signe d' expression avec la fonction exponentielle
Déterminer le signe des expressions suivantes sur \(\mathbb{R}\):
$a)~1-e^x$ $b)~e^{2x}-1$ $c)~e^{2x}-e^{x+1}$ $d)~e^{(x^2)}-e^{x}$
$e)~1-\dfrac 1{e^{x}}$
Exercice
14: Déterminer le
Inégalité avec la fonction exponentielle
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1-e^{-x}$.
-
Démontrer que pour tout réel $x\lt 0$, $f(x)\lt 0$
-
Démontrer que pour tout réel $x\geqslant 0$, $0\leqslant f(x)\lt 1$
Exercice
15: Déterminer le
Fonction exponentielle et inégalité
Démontrer que pour tout $x\in ]-\infty;0]$, $e^{5x}-3\lt 0$.
