Exercice
1: Calculer avec des exponentielles
Simplifier chaque expression:
$a)~ \displaystyle \dfrac {(e^{-2x})^3 e^{4x}}{e^{-2x}}$ $b)~
\dfrac{(e^{1-0,5x})^3}{e\times e^{-4,5x}}$
Exercice 2 Savoir calculer avec des exponentielles
Simplifier les expressions suivantes où \(x\) est un réel quelconque:
$ a)~\dfrac{e^{1+x}}{e^{x+2}}$
$ b)~\dfrac{e^{3x}+e^x}{e^{2x}+e^x}$
$ c)~\left(\dfrac{e}{e^{-x}}\right)^4$
Exercice 3: Egalité et exponentielle
Montrer que pour tout $x$ réel:
$\displaystyle \dfrac {(e^x-1)(e^x+1)}{e^{2x}}=1-e^{-2x}$
Exercice 4: Egalité et exponentielle
Montrer que pour tout réel $x$:
$\displaystyle \dfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$
Exercice 5 Résoudre des
équations avec la
fonction exponentielle
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes:
$ a)~e^{2-x}=e^x$
$ b)~e^{2x+3}=1$ $c)~e^{5-x^2}=e$ $d)~e^{-x}=0$ $e)~2e^{-x}=\dfrac{4}{e^x+1}$
$f)~2e^{-x}=\dfrac{1}{e^x+1}$
Exercice 6:
Inéquation et fonction
exponentielle
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation suivante:
$1-e^{x^2-1}>0$
Exercice 7: Résoudre des
inéquations avec la
fonction exponentielle
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes:
$a)~e^{2x}-e^{x+1}\lt0$
$b)~1-e^{x-2}\ge 0$ $c)~e^x-\dfrac{1}{e^x} \le 0$ $d)~\dfrac {1}{e^x}-e>0$
Exercice 8: Résoudre des équations et inéquations
avec des exponentielles en posant
X=e^x - changement d'inconnue.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes, en posant \(X=e^x\):
$ a)~2e^{2x}-e^x=1$ $b)~e^{2x}+2e^x-3\leqslant 0$
Exercice 9:
signe d' expression avec la fonction exponentielle
Déterminer le signe des expressions suivantes sur \(\mathbb{R}\):
$a)~1-e^x$ $b)~e^{2x}-1$ $c)~e^{2x}-e^{x+1}$ $d)~e^{(x^2)}-e^{x}$
$e)~1-\dfrac 1{e^{x}}$
Exercice 10: Déterminer le
Inégalité avec la fonction exponentielle
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1-e^{-x}$.
-
Démontrer que pour tout réel $x\lt 0$, $f(x)\lt 0$
-
Démontrer que pour tout réel $x\geqslant 0$, $0\leqslant f(x)\lt 1$
Exercice 11: Déterminer le
Fonction exponentielle et inégalité
Démontrer que pour tout $x\in ]-\infty;0]$, $e^{5x}-3\lt 0$.
Exercice 12: Dérivée et exponentielle
Les fonctions suivantes sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Donner leur fonction
dérivée.
$a)~ f(x)=e^{-3x+4}$ $b)~ g(x)=(5x^2-x)e^x$ $c)~ h(x)=(5x^2-x)e^{-x}$
Exercice 13: Dérivée et exponentielle
Les fonctions suivantes sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Donner leur fonction
dérivée.
$a)~ f(x)=\dfrac 4{e^x+1}$ $b)~ g(x)=\dfrac{e^x+1}4$ $c)~ h(x)=\dfrac
4{e^{x}}$
Exercice 14: Dérivée et exponentielle
Dans chaque cas, calculer $f'(x)$:
$a)~ f(x)=e^{-2x}+e^2$ $b)~ f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3}$ $c)~
f(x)=\dfrac{e^x+x}{4}$
Exercice 15: Fonction exponentielle et tangente
On note $\mathscr{C}$ la courbe de la fonction exponentielle.
Donner les équations des tangentes à $\mathscr{C}$ aux points d'abscisses respectives $0$, $1$ et $-1$.
Exercice 16: Dérivée et exponentielle
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x+1$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 17:
Fonction exponentielle et variations
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par $f(x)=e^{1-3x}$.
-
Déterminer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) puis en déduire le tableau de
variations de \(f\)
sur \(\mathbb{R}\).
-
Déterminer le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sans utiliser la dérivation.
Exercice 18: Dérivée, exponentielle et produit
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(6-3x){e^{2x}}$.
-
Déterminer une expression de la dérivée de $f$.
-
En déduire le tableau de variations de $f$.
Exercice 19: Dérivée et $e^{-x}$
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=(6x^2+11x+10){e^{-x}}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 20: Dérivée et exponentielle
Dans chaque cas, déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et son tableau de
variations sur $\mathbb{R}$:
$a)~ f(x)=-4e^{3-5x}$ $b)~ f(x)=(1-x)e^x-5$ $c)~ f(x)=-x^2e^x$
$d)~ f(x)=\dfrac{e^{1-2x}}4$
Exercice 21: Dérivée et exponentielle
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{e^x}$.
1) Déterminer pour tout réel $x$, $f'(x)$.
2) En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 22: Exponentielle - Dérivée - variations
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}$.
-
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{e^x}$.
-
En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 23: Dérivée et $e^{ax+b}$
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}\backslash \{ 2\}$ par
$f(x)=\dfrac{e^{3x-1}}{x-2}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 24: Dérivée - Exponentielle et quotient
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ par
$f(x)=\dfrac{e^{1-6x}}{x^3}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 25: Exponentielle et tableau de variations
Dans chaque cas, déterminer le tableau de variations de $f$ définie et dérivable sur le domaine
${\rm D}$ indiqué:
$a)~ {\rm D}=\mathbb{R} \text{ et } f(x)=\dfrac{e^{-2x}}4$ $b)~ {\rm D}=\mathbb{R}^{*} \text{
et } f(x)=e^{2x}-\dfrac
1x$
Exercice 26: Etude d'une fonction avec
exponentielle - dérivée seconde + variations
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-\dfrac {x^2}2$.
-
Déterminer une expression des fonctions $f'$ et $f''$.
-
Déterminer le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$.
-
En déduire le tableau de variations de $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis le signe de $f'(x)$.
-
En déduire le sens de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 27: cosinus et sinus hyperbolique
On appelle fonction:
• cosinus hyperbolique la fonction notée $\text{ch}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$\text{ch}(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}2$.
• sinus hyperbolique la fonction notée $\text{sh}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$\text{sh}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}2$.
-
Montrer que la fonction cosinus hyperbolique est paire et que la fonction sinus hyperbolique
est
impaire.
-
Montrer que pour tout réel $x$, $\text{ch}^2(x)-\text{sh}^2(x)=1$.
-
-
Montrer que pour tout réel $x$, $\text{sh}'(x)=\text{ch}(x)$. En déduire que sh est
strictement
croissante sur $\mathbb{R}$
-
Dresser le tableau de signe de la fonction $\text{sh}$.
-
- Montrer que pour tout réel $x$, $\text{ch}'(x)=\text{sh}(x)$.
- En déduire le tableau de variations de la fonction $\text{ch}$ puis puis son
minimum.
Exercice 28: Suite et exponentielle
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=e{^{2-3n}}$.
-
Démontrer que la suite \((u_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
-
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \({\rm S}_n=u_0+u_1+...+u_n\).
Montrer que pour tout entier naturel $n$, \({\rm S}_n=e^{5} \dfrac{1-e^{-3n-3}}{e^{3}-1}\).
Exercice 29:
Suite et fonction exponentielle
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=4-e^{-\frac
n2}$.
Démontrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante par 2 méthodes différentes.
Exercice 30: Suite et exponentielle
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=e{^{2-0,6
n}}$.
Pour tout entier naturel \(n\), on pose ${\rm P}_n=u_0\times ...\times u_n$.
Exprimer \({\rm
P}_n\) en fonction de \(n\).
Exercice 31:
Associer courbe et fonction exponentielle
On a tracé les courbes de quatre fonctions $f, g, h, i$ définies sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=e^{x}$, $g(x)=e^{-x}$, $h(x)=e^{0.5x}$ et $i(x)=e^{-2x}$.
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond en
justifiant.
Exercice 32:
Déterminer a, b dans f(x)=(ax+b)e^(-x)
On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).
La courbe de \(f\) passe par les points \({\rm A}(-2;0)\), \({\rm B}(0;2)\).
On sait que pour tout \(x\) réel, \(f(x)=(ax+b)e^{-x}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels.
-
A l'aide du graphique, déterminer \(a\) et \(b\) en justifiant.
-
En déduire le tableau de variations de \(f\).
Exercice 33:
Déterminer a, b,c dans f(x)=(ax²+bx+c)e^(-x)
On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).
\(\mathscr{C}_f\) passe par les points A(0;1) et B(-1;0).
- \(T\) est la tangente à \(\mathscr{C}_f\) en A et passe par le point C(1;3).
-
On sait également que pour tout \(x\) réel, \(f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}\) où \(a\), \(b\),
\(c\) sont des nombres.
-
Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\).
-
Déterminer la valeur de \(a\), \(b\) et \(c\) en justifiant.
Exercice 34:
Tangente perpendiculaire et exponentielle
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^x\) et
\(g(x)=e^{-x}\).
Dans un repère orthonormé, on a tracé les courbes \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) de ces deux
fonctions.
-
Démontrer que si \(m\) est le coefficient directeur d'une droite \(\mathscr{D}\) du plan
alors le
vecteur de coordonnées \((1;m)\) est un vecteur directeur de cette droite.
-
Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\) et \(g'(x)\).
-
On note \(T_a\) et \(\Delta_a\) les tangentes respectives à \(\mathscr{C}_f\) et
\(\mathscr{C}_g\) au point d'abscisse \(a\).
-
-
Démontrer que les tangentes à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point
d'abscisse 0 sont perpendiculaires.
-
Démontrer que les tangentes à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point
d'abscisse \(a\) sont perpendiculaires quel que soit \(a\) réel.
Exercice 35:
Associer f et f ' à leur courbe - Déterminer a, b, c à l'aide de la
courbe de f et f'
On a récupéré un graphique avec deux courbes. $\mathscr{C}_f$ est la courbe d'une fonction $f$ et
$\mathscr{C}_{f'}$ de sa dérivée.
On sait que la fonction $f$ est définie par $f(x)=(x^2+ax+b)e^{x+c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des
constantes
réelles.
L'objectif de cet exercice est retrouver les valeurs $a$, $b$ et $c$.
-
Justifier que $a$ et $b$ sont solutions du système: $\left\{\begin{array}{l}
4+2a+b=0\\
9+3a+b=0 \\
\end{array}\right.$
-
En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
-
Déterminer $f'(x)$.
-
A l'aide du point C, déterminer la valeur de $c$ et donner l'expression de $f(x)$.
