Variations d'une fonction

$\boldsymbol{u+k}$ a les mêmes variations que $\boldsymbol{u}$

$u$ est une fonction définie sur un intervalle I
$\boldsymbol{k}$ est une constante

Quand on rajoute 2 à une fonction
la courbe est décalée de 2 vers le haut .

ça ne change donc pas les variations.
$f$ et $f+2$ ont les mêmes variations.

On dit que
la courbe de $f+2$
est la translatée de la courbe de $f$
par la translation de vecteur $\boldsymbol{2\vec j}$

Si on a $\boldsymbol{f-2}$

au lieu de $f+2$

ça revient à ajouter $\boldsymbol{-2}$

$f-2=f+(-2)$

et donc décaler la courbe de 2 vers le bas.
Et donc ça ne change pas non plus les variations.
$\boldsymbol{f-2}$ a les mêmes variations que $\boldsymbol{f}$.

• $u$ et $v$ sont croissantes

Si les fonctions $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont croissantes sur un intervalle I
alors la fonction $\boldsymbol{u+v}$ est croissante sur I

Soit $f$ définie $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+x$.
On pose pour tout $x$ de $[0;+\infty[$, $u(x)=x^2$ et $v(x)=x$
$u$ et $v$ sont croissantes sur $[0;+\infty[$
Donc $u+v$, c'est à dire $f$ est aussi croissante sur $[0;+\infty[$.

• $u$ et $v$ sont décroissantes

Si les fonctions $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont décroissantes sur un intervalle I
alors la fonction $\boldsymbol{u+v}$ est décroissante sur I

Soit $f$ définie sur $]-\infty;0]$ par $f(x)=x^2-x$.
On pose pour tout $x$ de $]-\infty;0]$, $u(x)=x^2$ et $v(x)=-x$
$u$ et $v$ sont décroissantes sur $]-\infty;0]$
Donc $u+v$, c'est à dire $f$ est aussi décroissante sur $]-\infty;0]$.

• $u$ est croissante et $v$ décroissante

Si l'une est croissante et l'autre décroissante
alors on ne peut pas conclure.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x$.
Pour tout $x$ réel, on pose , $u(x)=x^2$ et $v(x)=x$

On a vu que sur $[0;+\infty[$,
$u$ et $v$ sont toutes les 2 croissantes,
donc $f=u+v$ est croissante.

Mais sur $]-\infty;0[$
$u$ est décroissante et $v$ est croissante
Donc on ne peut pas conclure sur $]-\infty;0[$.

Si $\lambda\gt 0$

$\boldsymbol{\lambda u}$ a les mêmes variations que $\boldsymbol u$

$\lambda$ est un nombre strictement positif
$u$ est une fonction définie sur un intervalle I

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2$
On pose pour tout $x$ réel, $u(x)=x^2$
Comme $f=\boldsymbol{3}u$, $f$ a les mêmes variations que $u$

c'est à dire la fonction carré

Quand on multiplie une fonction
par un nombre strictement positif

ici 3

on ne change pas les variations.

Si $\lambda\lt 0$

$\boldsymbol{\lambda u}$ a des variations contraires à celle de $\boldsymbol u$

$\lambda$ est un nombre strictement négatif
$u$ est une fonction définie sur un intervalle I

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2$
On pose pour tout $x$ réel, $u(x)=x^2$
Comme $f=\boldsymbol{-3}u$, $f$ a des variations contraires à celles de $u$

c'est à dire la fonction carré

Quand on multiplie une fonction
par un nombre strictement négatif

ici -3

on inverse les variations.

$\boldsymbol{\sqrt u}$ a les mêmes variations que $\boldsymbol u$

$u$ est fonction positive sur un intervalle I

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}$

Pour tout $x$ réel, $x^2+1\ge 0$
Donc pour tout $x$ réel, $\sqrt{x^2+1}$ a un sens
Donc $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $x$ réel, on pose $u(x)=x^2+1$
$f=\sqrt u$
Donc $f$ a les mêmes variations que $u$ sur $\mathbb{R}$

$\displaystyle\boldsymbol{\frac 1u}$ a des variations contraires à celles de $\boldsymbol u$

sous réserve que $\boldsymbol{u}$ soit une fonction
ayant un signe constant et ne s'annule pas sur l'intervalle I

Autrement dit,
$u$ est toujours strictement positive sur l'intervalle I
ou
$u$ est toujours strictement négative sur l'intervalle I

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$ par $\displaystyle f(x)=\frac 1{x-2}$
On pose $u(x)=x-2$
$\boldsymbol{\displaystyle f=\frac 1u}$
Donc $f$ a des variations contraires à celles de $u$

On cherche où $u$ s'annule, ici en 2, ce qui correspond à une valeur interdite pour $\displaystyle\frac 1u$.
Sur $]-\infty;2[$, $u$ est strictement négative, donc $\displaystyle\frac 1u$ a des variations contraires à celles de $u$.
Sur $]2;+\infty[$, $u$ est strictement positive, donc $\displaystyle\frac 1u$ a des variations contraires à celles de $u$.

On cherche les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)=\frac {-3}{x^2+2}$.

$\displaystyle f(x)$	=	$\displaystyle \frac {-3}{x^2+2}$ On s'arrange pour faire apparaitre $\displaystyle \frac 1u$ et donc se débarrasser du -3 au numérateur!
	=	$\displaystyle -3\times \frac{1}{x^2+2}$

Maintenant on peut dresser le tableau de variations

On connait les variations de $x^2$
Donc de $x^2+2$ a les mêmes variations que $x^2$

Pour être tout à fait rigoureux,
comme il s'agit d'une fonction
il faudrait écrire $x\to x^2$
et pas $x^2$!

Et de même
pour les autres expressions

Car on rajoute 2
ce qui ne change pas les variations
voir $u+k$.

Donc de $\displaystyle \frac 1{x^2+2}$ a des variations contraires à $x^2+2$

Car $\displaystyle \frac 1u$ a des variations contraires à $u$

Donc de $\displaystyle -3\times \frac 1{x^2+2}$ a des variations contraires à $\displaystyle \frac 1{x^2+2}$

Car on multiplie par un nombre négatif
ici -3.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I:

$f$ est croissante sur I$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f'(x)\geqslant 0}$
$f$ est décroissante sur I$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f'(x)\leqslant 0}$
$f$ est constante sur I$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f'(x)= 0}$

Ce sont des équivalences,
Chaque propriété "marche" dans les 2 sens !!!!

Ne pas croire que:
$f$ est strictement croissante sur I$\boldsymbol{\not\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f'(x)\gt 0}$
Une fonction peut être strictement croissante sans que la dérivée soit strictement positive !!!!

Pour que la fonction soit strictement croissante,
il n'est pas nécessaire que la dérivée soit strictement positive
Il suffit que la dérivée soit positive et ne s'annule qu'un nombre fini de fois

Exemple avec la fonction cube:
$f(x)=x^3$

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

$f'(x)=3x^2$

La dérivée n'est pas strictement positive.
La dérivée est bien positive mais pas strictement car s'annule pour $\boldsymbol{x=0}$
Et pourtant la fonction est strictement croissante!

1) Vérifier que la fonction est dérivable sur le domaine indiqué
2) Calculer la dérivée $\boldsymbol{f}'$

Après avoir vérifié que la fonction est dérivable sur le domaine indiqué
c'est à dire que $f'(x)$ existe pour tout $x$ du domaine.

3) Etudier le signe de $\boldsymbol{f'(x)}$

Pour cela, penser à:

- Mettre au même dénominateur, s'il y a des fractions
- factoriser au maximum

Pour factoriser, penser:

- au facteur commun
- à l'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$

- Faire le tableau de signe

1) On étudie le signe de chaque bloc séparément
2) On trouve le signe final en appliquant la règle des signes par colonne.

Avant de faire le tableau de signe
Bien vérifier que chaque bloc du tableau de signe
est séparé des autres blocs
par une multiplication ou une division
Sinon on ne peut pas appliquer la règle des signe!

4) Conclure

Pour cela, on utilise la propriété suivante:

• Sur les intervalles où $\boldsymbol{f'(x)\geqslant 0}$, $f$ est strictement croissante

sous réserve que $\boldsymbol{f'}$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois
sur ces intervalles.

• Sur les intervalles où $\boldsymbol{f'(x)\leqslant 0}$, $f$ est strictement décroissante

sous réserve que $f'$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois
sur ces intervalles.

Penser à calculer
les valeurs des minimums et maximums
et à les mettre dans le tableau de variations.

Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle {x+\frac 1x}$
$f$ est dérivable sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ comme somme de 2 fonctions dérivables sur ces 2 intervalles.

$f'(x)$	=	$\displaystyle 1-\frac 1{x^2}$ Ensuite on va mettre au même dénominateur
	=	$\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2}$ Ensuite on va factoriser au maximum pour pouvoir faire le tableau de signe.
	=	$\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$

Ensuite on dresse le tableau de variations:

Pour montrer que M est le maximum d'une fonction $f$ sur un intervalle I
il y a 2 conditions à vérifier:

Concrètement pour trouver le maximum,
penser à trouver le tableau de variations

avec ou sans la dérivation

Puis lire le maximum dans le tableau de variations.

Il n'y a pas toujours de maximum!

Pour montrer que M est le minimum d'une fonction $f$ sur un intervalle I
il y a 2 conditions à vérifier:

Concrètement pour trouver le minimum,
penser à trouver le tableau de variations

avec ou sans la dérivation

Puis lire le minimum dans le tableau de variations.

Il n'y a pas toujours de minimum!

Dire que M est un extremum signifie que M est un maximum ou un minimum.

Au pluriel,
extremum devient extrema ou extremums
Même règle avec minimum et maximum.

Méthode 1: avec un tableau de signe

Pour montrer une inégalité $\boldsymbol{\rm A\geqslant \rm B}$

Penser à utiliser un tableau de signe.

1) Ecrire l'inégalité sous la forme $\boldsymbol{A-B\geqslant 0}$

De façon à avoir
0 dans le membre de droite.

2) Mettre au même dénominateur

S'il y a des fractions

3) Factoriser au maximum

Pour factoriser, penser:

- au facteur commun
- à l'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$

3) Dresser le tableau de signe

On étudie le signe de chaque bloc séparément.
Puis on applique la règle des signes par colonne.

4) Conclure

Si on s'interesse à l'inégalité $A-B\geqslant 0$
Regarder dans le tableau de signe
sur la dernière ligne, s'il y a que des $\boldsymbol{+}$

Dans ce cas,
l'inégalité est démontrée!

Si on s'interesse à l'inégalité $A-B\leqslant 0$
Regarder dans le tableau de signe
sur la dernière ligne, s'il y a que des $\boldsymbol{-}$

Dans ce cas,
l'inégalité est démontrée!

Pour plus d'info aller ici

Méthode 2: avec un tableau de variations

Pour montrer une inégalité $\boldsymbol{\rm A \geqslant B}$
Quand on n'arrive pas à appliquer la méthode avec le tableau de signe

souvent car on n'arrive pas à factoriser.

On utilise un tableau de variations:

1) On écrit l'inégalité sous la forme $\rm A-B\geqslant 0$

On regroupe tout dans le membre de gauche
de façon à avoir 0 à droite.

2) On pose $f(x)=\rm A-B$

Evidement on peut utiliser un autre nom que $f(x)$!

3) On étudie les variations de $f$

Pour cela, on utilise l'une des 2 méthodes suivantes:
• la méthode avec la dérivation
• la méthode sans la dérivation

4) On conclut

Si on s'interesse à $\rm A-B\geqslant 0$
On cherche le minimum de $f$ dans le tableau de variations.
Si le minimum est 0 ou plus, alors l'inégalité est démontrée

En effet si le minimum de $f$ est 0,
alors $f(x)\geqslant 0$
donc $\rm A-B\geqslant 0$
donc $\rm A\geqslant B$.

Ce raisonnement est encore vrai
si le minimum est plus grand que 0!

Si on s'interesse à $\rm A-B\leqslant 0$
On cherche le maximum de $f$ dans le tableau de variations.
Si le minimum est 0 ou moins, alors l'inégalité est démontrée

En effet si le minimum de $f$ est 0,
alors $f(x)\leqslant 0$
donc $\rm A-B\leqslant 0$
donc $\rm A\leqslant B$.

Ce raisonnement est encore vrai
si le minimum est plus petit que 0!

Montrer que pour $x\gt 0$, $\displaystyle x+\frac 1x\geqslant 2$
On pose $\displaystyle f(x)=x+\frac 1x-2$

On va chercher le minimum de $f$.
Et on espère que ce minimum est 0 ou plus.
Et du coup, on pourra en conclure que $f(x)$ est plus grande que 0.
Pour trouver ce minimum, on va chercher les variations de $f$.

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de 3 fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.

$f'(x)$	=	$\displaystyle 1-\frac 1{x^2}$ Ensuite on va mettre au même dénominateur
	=	$\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2}$ Ensuite on va factoriser au maximum pour pouvoir faire le tableau de signe. Dans cet exemple, on pourrait trouver le signe de $x^2-1$ directement, sans factoriser. Mais dans des cas plus compliqués, il faut penser à factoriser.
	=	$\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$

Ensuite on dresse le tableau de variations:

On conclut ensuite ainsi:
Le minimum de $f$ sur $]0;+\infty[$ est 0,
Donc pour tout $x\gt 0$,
$f(x)\geqslant 0$
Donc $\displaystyle x+\frac 1x-2\geqslant 0$
Donc $\displaystyle x+\frac 1x\geqslant 2$

C'est ce qu'il fallait démontrer!

On aurait pu traiter cet exemple
avec la méthode
utilisant un tableau de signe.

Voir l'exemple en vidéo

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que $f$ admet un maximum local $\boldsymbol{m}$
signifie
il existe un intervalle ouvert inclus dans I sur lequel $\boldsymbol{m}$ est le maximum.

Si on ne regarde la courbe que sur $]0,5;1,5[$
3 est le maximum.
Donc 3 est un maximum local.
Mais le maximum global est 4!

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que $f$ admet un minimum local $\boldsymbol{m}$
signifie
il existe un intervalle ouvert inclus dans I sur lequel $\boldsymbol{m}$ est le minimum.

Si on ne regarde la courbe que sur $]-1,5;-0,5[$
2 est le minimum.
Donc 2 est un minimum local.
Mais le minimum global est 1!

Condition nécessaire pour avoir un extremum local
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et $c\in I$.

S'il y a un extremum local en $c$ alors $\boldsymbol{f'(c)=0}$

La réciproque est fausse!
On peut très bien avoir une dérivée qui s'annule en $c$
sans qu'il y ait d'extremum en $c$!
cf. erreur classique 1

Autrement dit,
pour qu'il y ait un extremum local en $c$, il faut que $\boldsymbol{f'(c)=0}$.

Dit encore autrement
Si la dérivée ne s'annule pas en $c$, alors il n'y a pas d'extremum local en $c$!

Erreur classique 1

On vient d'expliquer que
Pour qu'il y ait un extremum local en $c$, il faut que $f'(c)=0$
Mais on peut très bien avoir $\boldsymbol{f'(c)=0}$ sans qu'il y ait d'extremum local.

La dérivée s'annule en 0 et pourtant pas d'extremum en 0!

$\boldsymbol{f'(c)=0}$ est une condition nécessaire mais pas suffisante pour qu'il y ait un extremum.

Erreur classique 2

On peut très bien avoir un extremum en $c$ sans que la dérivée s'annule en $c$.

Le maximum est en 3 et vaut 4
Et la dérivée ne s'annule pas en 3!

L'extremum peut être à une borne de l'intervalle
et du coup ce n'est pas un extremum local.
et donc la dérivée ne s'annule pas forcément.

Dans la pratique

Quand on cherche un extremum
le chercher parmi les extrema locaux ou aux bornes du domaine

Condition nécessaire et suffisante pour avoir un extremum local
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et $c\in I$.

Il y a un extremum local en $c$ $\Leftrightarrow$ La dérivée s'annule en changeant de signe en $c$

Cette fois, c'est une équivalence!

1) Trouver le tableau de variations

avec ou sans la dérivation

2) Lire minimum et maximum dans le tableau de variations

Il n'y a pas toujours de maximum ou minimum