Fonction exponentielle - Exercices type contrôle

On a tracé les courbes de quatre fonctions $f, g, h, i$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{x}$, $g(x)=e^{-x}$, $h(x)=e^{0.5x}$ et $i(x)=e^{-2x}$.
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond en justifiant.

On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

La courbe de \(f\) passe par les points \({\rm A}(-2;0)\), \({\rm B}(0;2)\).
On sait que pour tout \(x\) réel, \(f(x)=(ax+b)e^{-x}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels.

1. A l'aide du graphique, déterminer \(a\) et \(b\) en justifiant.
2. En déduire le tableau de variations de \(f\).

$a$ et $b$ sont deux réels. $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ae^{-x} + be^{-2x}$.
Déterminer $a$ et $b$ tels que la courbe de $f$ passe par le point A(0 ; 1) et admette en ce point une tangente horizontale .

On a tracé la courbe \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

\(\mathscr{C}_f\) passe par les points A(0;1) et B(-1;0). \(T\) est la tangente à \(\mathscr{C}_f\) en A et passe par le point C(1;3).
On sait également que pour tout \(x\) réel, \(f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}\) où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres.

1. Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\).
2. Déterminer la valeur de \(a\), \(b\) et \(c\) en justifiant.

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-\dfrac {x^2}2$.

1. Déterminer une expression des fonctions $f'$ et $f''$.
2. Déterminer le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire le tableau de variations de $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis le signe de $f'(x)$.
4. En déduire le sens de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

On appelle fonction:
• cosinus hyperbolique la fonction notée $\text{ch}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{ch}(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}2$.
• sinus hyperbolique la fonction notée $\text{sh}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{sh}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}2$.

1. Montrer que la fonction cosinus hyperbolique est paire et que la fonction sinus hyperbolique est impaire.
2. Montrer que pour tout réel $x$, $\text{ch}^2(x)-\text{sh}^2(x)=1$.
3. 1. Montrer que pour tout réel $x$, $\text{sh}'(x)=\text{ch}(x)$. En déduire que sh est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
   2. Dresser le tableau de signe de la fonction $\text{sh}$.
4. 1. Montrer que pour tout réel $x$, $\text{ch}'(x)=\text{sh}(x)$.
   2. En déduire le tableau de variations de la fonction $\text{ch}$ puis puis son minimum.

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=e{^{2-3n}}$.

1. Démontrer que la suite \((u_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \({\rm S}_n=u_0+u_1+...+u_n\).
   Montrer que pour tout entier naturel $n$, \({\rm S}_n=e^{5} \dfrac{1-e^{-3n-3}}{e^{3}-1}\).

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=4-e^{-\frac n2}$.
Démontrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante par 2 méthodes différentes.

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $u_n=e{^{2-0,6 n}}$.
Pour tout entier naturel \(n\), on pose ${\rm P}_n=u_0\times ...\times u_n$.
Exprimer \({\rm P}_n\) en fonction de \(n\).

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^x\) et \(g(x)=e^{-x}\).
Dans un repère orthonormé, on a tracé les courbes \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) de ces deux fonctions.

1. Démontrer que si \(m\) est le coefficient directeur d'une droite \(\mathscr{D}\) du plan alors le vecteur de coordonnées \((1;m)\) est un vecteur directeur de cette droite.
2. Déterminer, pour tout \(x\) réel, \(f'(x)\) et \(g'(x)\).
3. On note \(T_a\) et \(\Delta_a\) les tangentes respectives à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point d'abscisse \(a\).
4. 1. Démontrer que les tangentes à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point d'abscisse 0 sont perpendiculaires.
   2. Démontrer que les tangentes à \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) au point d'abscisse \(a\) sont perpendiculaires quel que soit \(a\) réel.

On a récupéré un graphique avec deux courbes. $\mathscr{C}_f$ est la courbe d'une fonction $f$ et $\mathscr{C}_{f'}$ de sa dérivée.

On sait que la fonction $f$ est définie par $f(x)=(x^2+ax+b)e^{x+c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles.
L'objectif de cet exercice est retrouver les valeurs $a$, $b$ et $c$.

1. Justifier que $a$ et $b$ sont solutions du système: $\left\{\begin{array}{l} 4+2a+b=0\\ 9+3a+b=0 \\ \end{array}\right.$
2. En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
3. Déterminer $f'(x)$.
4. A l'aide du point C, déterminer la valeur de $c$ et donner l'expression de $f(x)$.