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Seconde

Entiers - Décimaux - Rationnels - Réels

Conseils
Ensembles de nombres
Cours Connaitre les

ensembles de nombres

Entiers naturels

Entiers relatifs

• Nombres décimaux

Nombres rationnels

• Nombres irrationnels

Nombres réels

• Schéma à connaitre

Nature d'un nombre

• Ne pas confondre $\boldsymbol\in$ et $\boldsymbol\subset$
Cours Savoir démontrer qu'un nombre est décimal
• Méthode 1
• Méthode 2
• Savoir démontrer qu'un nombre n'est pas décimal
• Montrer que $\displaystyle \frac 13$ n'est pas décimal
• Piège avec les décimaux
Cours Démontrer que $\sqrt 2$ est irrationnel
Cours Nombre rationnel et écriture décimale
• Si un nombre est rationnel alors ?
• Réciproque ?

Exercice

1:Tableau à compléter
Sans utiliser de calculatrice, compléter le tableau par OUI ou NON:
Appartient à $\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$
-5
$\displaystyle\frac 43$
$\displaystyle\frac 34$
$\displaystyle\sqrt 2$
$\displaystyle\frac {\sqrt{144}}3$
$\displaystyle\pi$

Exercice 2:

Nature d'un nombre

Donner la nature des nombres suivants, sans utiliser de calculatrice:
        $\displaystyle\frac{-84}{14}$         $5,1$         $10^3$         $\displaystyle\frac{1,26}{18}$         $\displaystyle\frac{7}{21}$         $\displaystyle \sqrt 2-\frac{2}{\sqrt 2}$
Exercice 3: Ne pas confondre les symboles appartient $\in$ et inclus $\subset$
Compléter par $\in$, $\not\in$, $\subset$, $\not\subset$:
a) 3 .... $\mathbb{Z}$ b) $\displaystyle \frac 54$ .... $\mathbb{D}$ c) $\sqrt 2$ .... $\mathbb{Q}$
d) $\displaystyle \frac 13$ .... $\mathbb{D}$ e) $\mathbb{Q}$ .... $\mathbb{D}$ e) $\mathbb{N}$ .... $\mathbb{Q}$
Exercice 4: Nature d'un nombre
Sans calculatrice, donner la nature des nombres suivants:
        $-5,6$         $\displaystyle\frac 34$         $\displaystyle\frac 43$         $\displaystyle\frac 25$         $\displaystyle\sqrt {6,25}$
Exercice 5: Nature d'un nombre
  1. $\displaystyle \frac {784}3$ appartient-il à $\mathbb{N}$?
  2. $\displaystyle\frac 5{1+\dfrac 23}$ est-il décimal?
Exercice 6: Démontrer que

un tiers $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal

- Démonstration cours seconde - Difficile
  1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.
  2. Démontrer que $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal.
    (On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Exercice 7: Démontrer que $\displaystyle\frac 97$ n'est pas un nombre décimal - Démonstration cours seconde - Difficile
  1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.
  2. Démontrer que $\displaystyle\frac 97$ n'est pas un nombre décimal.
    (On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Exercice 8: Démonstration cours de seconde
  1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.
  2. Démontrer que $\displaystyle\frac {13}{80}$ est un nombre décimal.
  3. Démontrer que $\displaystyle\frac {17}{26}$ n'est pas un nombre décimal.
    (On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Exercice 9: Démonstration cours de seconde
L'objectif de cet exercice est de démontrer que $0,999...=1$.
Notons $x=0,99....$.
  1. Calculer $10x$.
    (On admettra que multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite.)
  2. Conclure.
Exercice 10: Démonstration cours seconde -

nombre pair - impair

- Logique
Démontrer que si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair. (Penser à utiliser la contraposée)
Exercice 11: Démonstration cours seconde -

racine de 2 irrationnel

On rappelle le résultat suivant: Si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair.
  1. Rappeler la définition d'un nombre rationnel.
  2. Démontrer que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
    (On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde).
Exercice 12: Arithmétique -

rationnel et irrationnel - seconde

Sachant que $\pi$ est irrationnel, démontrer que $\displaystyle\frac 3\pi$ et $\sqrt \pi$ sont irrationnels.
Exercice 13: Somme d'un rationnel et d'un irrationnel
  1. Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel
  2. La somme de deux irrationnels est un irrationnel?
  3. Que peut-on dire de $\pi +1$ ?
Exercice 14:

Développement décimal illimité

L'objectif est de deviner une propriété des nombres qui ont un développement décimal périodique.
    1. Soit $x=2,111....$
    2. Calculer $10x$.
      On admettra que multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite.
    3. En déduire que l'on peut écrire $2,111...$ sous la forme d'une fraction de 2 entiers.
  1. Adapter la méthode à $x=2,232323...$.
  2. Adapter la méthode à $x=5,23569569...$
  3. Quelle propriété peut-on conjecturer?
Exercice 15: Construire un rationnel à la règle et au compas
Sur une droite graduée, construire $\displaystyle\frac 13$, puis $\displaystyle\frac 47$.
Exercice 16: Construire un irrationnel à la règle et au compas - racine de 2
Sur une droite graduée, construire $\sqrt 2$, puis $\sqrt 3$.
Exercice 17: Algorithmique - approximation de pi
On cherche parmi les fractions ayant un numérateur et un dénominateur à un ou deux chiffres, celle qui soit la meilleure approximation de $\pi$.
Écrire un programme en Python pour résoudre ce problème.
Exercice 18: Algorithmique - programme python - Simplifier une fraction
Ecrire un programme en python pour simplifier une fraction et la rendre irréductible.
Exercice 19: Algorithmique - Piège très classique - Python et les décimaux
  1. Que va afficher le programme en python ci-dessous:
      if 0.1+0.2==0.3:
        print("titi")
      else:
        print("toto")
  2. Tester le programme sur ordinateur. Expliquer.