Ensembles de nombres - Entiers - Décimaux - Rationnels - Réels

Définition Un entier naturel est un entier supérieur ou égal à 0.
L'ensemble des entiers naturels est noté $\pmb{\mathbb{N}}$

$3$ est entier naturel

On peut écrire $3\in{\mathbb{N}}$

-3 n'est pas un entier naturel

On peut écrire ${-3\notin\mathbb{N}}$

Définition Un entier relatif est un entier positif, négatif ou nul.
L'ensemble des entiers relatifs est noté $\pmb{\mathbb{Z}}$

3 est un entier relatif

On peut écrire ${3\in\mathbb{Z}}$

$-3$ est un entier relatif

On peut écrire ${-3\in\mathbb{Z}}$

$0,5$ n'est pas un entier relatif

On peut écrire ${0,5\notin\mathbb{Z}}$

Définition Un nombre décimal est nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffre derrière la virgule.

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire $\boldsymbol{\displaystyle\frac a{10^n}}$

L'ensemble des décimaux est noté $\pmb{\mathbb{D}}$

$2,23$ est un nombre décimal

$3$ est un nombre décimal

$\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal

On peut écrire ${\displaystyle\frac 13\notin\mathbb{D}}$.

Définition Un nombre rationnel est nombre qui peut s'écrire sous la forme $\displaystyle \boldsymbol{\frac pq}$

L'ensemble des rationnels est noté $\pmb{\mathbb{Q}}$

$3$ est un nombre rationnel

On peut écrire ${3\in\mathbb{Q}}$.

$2,23$ est un nombre rationnel

Définition Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est à dire qui ne peut pas s'écrire sous la forme $\displaystyle \boldsymbol{\frac pq}$

Irrationnels classiques

Définition On considère une droite munie d'un repère.
Un nombre est réel s'il correspond à l'abscisse d'un point de cette droite. L'ensemble des nombres réels est noté ${\mathbb{R}}$

$2$ est un nombre réel

$-1,2$ est un nombre réel

$\sqrt 2$ et $\pi$ sont des nombres réels

En fait tous les nombres que vous connaissez en seconde,
correspondent tous à des points de la droite ett donc sont réels.
Donc tous les nombres que vous connaissez en seconde sont réels.

Donner la nature d'un nombre, c'est dire le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.

Donner la nature de $\displaystyle\frac{\sqrt{225}}6$

Définition Pour dire qu'un élèment $a$ appartient à un ensemble ${\rm A}$, on écrit: $\boldsymbol{a\in {\rm A}}$
Définition Pour dire qu'un ensemble ${\rm A}$ est inclus dans un ensemble ${\rm B}$, on écrit: $\boldsymbol{\rm A\subset B}$

Méthode Pour montrer qu'un nombre est décimal, montrer que ce nombre peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule.

Montrer que $2,25$ est décimal

Méthode Pour montrer qu'un nombre est décimal, montrer que ce nombre peut s'écrire sous la forme $\boldsymbol{\displaystyle\frac a{10^n}}$

Montrer que $2,25$ est décimal

Méthode Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur n'a aucun facteur premier autre que 2 ou 5.

Montrer que $\dfrac 1 7$ n'est pas décimal

Méthode Montrer que ce nombre ne peut pas s'écrire $\displaystyle\frac a{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel

Propriété Si le nombre est écrit avec un nombre de chiffres derrière la virgule:
• fini $\Rightarrow$ Le nombre est décimal
• infini $\Rightarrow$ Le nombre peut être décimal ou pas

$0,333...$ n'est pas un nombre décimal
$0,999...$ est un nombre décimal

Propriété Si un nombre est rationnel alors son développement décimal est périodique à partir d'un certain rang.

$\displaystyle\frac{15}{11}$ est un nombre rationnel

Propriété La réciproque de la propriété précédente est vraie: si un nombre a un développement décimal périodique à partir d'un certain rang alors ce nombre est rationnel.

$0,0454545...$ est un nombre rationnel