Exercice
1:
Tableau à compléter - Nature d'un nombre - Ensembles de
nombres
Sans utiliser de calculatrice, compléter le tableau par OUI ou NON:
| Appartient à |
$\mathbb{N}$ |
$\mathbb{Z}$ |
$\mathbb{D}$ |
$\mathbb{Q}$ |
$\mathbb{R}$ |
| -5 |
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| $\displaystyle\frac 13$ |
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| $\displaystyle\frac 34$ |
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| $\displaystyle\sqrt 2$ |
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| $\displaystyle\frac {\sqrt{144}}3$ |
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| $\displaystyle\pi$ |
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Exercice
2:
Nature d'un nombre - seconde - Ensemble N Z D Q R
Donner la nature des nombres suivants, sans utiliser de calculatrice:
$\color{red}{\textbf{a.
}} \dfrac 7{21}$
$\color{red}{\textbf{b.
}} \dfrac{21}{7}$
$\color{red}{\textbf{c.
}} \dfrac{\pi}{5\pi}$
$\color{red}{\textbf{d.
}} \dfrac 13+\dfrac 16$
$\color{red}{\textbf{e.
}} \dfrac{2,4}{0,3}$
$\color{red}{\textbf{f.
}} -\dfrac{561}3$
Exercice
3:
Nature d'un nombre - seconde - Ensemble
Donner la nature des nombres suivants, sans utiliser de calculatrice:
$\color{red}{\textbf{a.
}} \dfrac{12~500}{4}$
$\color{red}{\textbf{b.
}} \sqrt{0,25}$
$\color{red}{\textbf{c.
}} 2,71\times 10^{3}$
$\color{red}{\textbf{d.
}} (\sqrt 5 -1)(\sqrt 5 +1)$
$\color{red}{\textbf{e.
}} \dfrac {11}{20}$
$\color{red}{\textbf{f.
}} 4\times 10^{-2}$
Exercice
4:
Nature d'un nombre
Donner la nature des nombres suivants, sans utiliser de calculatrice:
$\displaystyle\frac{-84}{14}$ $5,1$
$10^3$ $\displaystyle\frac{1,26}{18}$
$\displaystyle\frac{7}{21}$
$\displaystyle \sqrt 2-\frac{2}{\sqrt 2}$
Exercice
5: Ne pas confondre les symboles
appartient $\in$ et inclus
$\subset$
Compléter par $\in$, $\not\in$, $\subset$, $\not\subset$:
| a) 3 .... $\mathbb{Z}$ |
b) $\displaystyle \frac 54$ .... $\mathbb{D}$ |
c) $\sqrt 2$ .... $\mathbb{Q}$ |
| d) $\displaystyle \frac 13$ .... $\mathbb{D}$ |
e) $\mathbb{Q}$ .... $\mathbb{D}$ |
f) $\mathbb{N}$ .... $\mathbb{Q}$ |
Exercice
6:
Nature d'un nombre - Ensembles de
nombres
Sans calculatrice, donner la nature des nombres suivants:
$-5,6$ $\displaystyle\frac 34$
$\displaystyle\frac 43$ $\displaystyle\frac 25$
$\displaystyle\sqrt {6,25}$
Exercice
7: Nature d'un nombre
-
$\displaystyle \frac {784}3$ appartient-il à $\mathbb{N}$?
-
$\displaystyle\frac 5{1+\dfrac 23}$ est-il décimal?
Exercice
8: Démontrer que
un tiers
$\displaystyle\frac 13$ n'est pas un
nombre décimal
-
Démonstration cours seconde - Difficile
-
Rappeler la définition d'un nombre décimal.
-
Démontrer que $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal.
(On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Exercice
9: Démontrer que
$\displaystyle\frac 97$ n'est pas un
nombre décimal -
Démonstration cours seconde - Difficile
-
Rappeler la définition d'un nombre décimal.
-
Démontrer que $\displaystyle\frac 97$ n'est pas un nombre décimal.
(On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Exercice
10: Démonstration cours de seconde
-
Rappeler la définition d'un nombre décimal.
-
Démontrer que $\displaystyle\frac {13}{80}$ est un nombre décimal.
-
Démontrer que $\displaystyle\frac {17}{26}$ n'est pas un nombre décimal.
(On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Exercice
11: Démonstration cours de seconde
L'objectif de cet exercice est de démontrer que $0,999...=1$.
Notons $x=0,99....$.
-
Calculer $10x$.
(On admettra que multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran
vers
la droite.)
-
Conclure.
Exercice
12: Démonstration cours seconde -
nombre
pair - impair
- Logique
Démontrer que si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair.
(Penser à utiliser la contraposée)
Exercice
13: Démonstration cours seconde -
racine
de 2 irrationnel
On rappelle le résultat suivant: Si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair.
-
Rappeler la définition d'un nombre rationnel.
-
Démontrer que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
(On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde).
Exercice
14: Arithmétique -
irrationnel raisonnement par l'absurde- seconde
Sachant que $\pi$ est irrationnel, démontrer que $\displaystyle\frac 3\pi$ et $\sqrt \pi$ sont
irrationnels.
Exercice
15: Somme d'un rationnel et d'un
irrationnel
-
Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel
-
La somme de deux irrationnels est un irrationnel?
-
Que peut-on dire de $\pi +1$ ?
Exercice
16:
Développement décimal illimité
L'objectif est de deviner une propriété des nombres qui ont un développement décimal périodique.
-
-
Soit $x=2,111....$
-
Calculer $10x$.
On admettra que multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la
droite.
-
En déduire que l'on peut écrire $2,111...$ sous la forme d'une fraction de 2
entiers.
-
Adapter la méthode à $x=2,232323...$.
-
Adapter la méthode à $x=5,23569569...$
-
Quelle propriété peut-on conjecturer?
Exercice
17: Construire un rationnel à la règle et
au compas
Sur une droite graduée, construire $\displaystyle\frac 13$, puis $\displaystyle\frac 47$.
Exercice
18: Construire un irrationnel à la règle
et au compas - racine de 2
Sur une droite graduée, construire $\sqrt 2$, puis $\sqrt 3$.
Exercice
19: Algorithmique - approximation de pi
On cherche parmi les fractions ayant un numérateur et un dénominateur à un ou deux chiffres, celle
qui
soit la meilleure approximation de $\pi$.
Écrire un programme en Python pour résoudre ce problème.
Exercice
20: Algorithmique - programme python -
Simplifier une fraction
Ecrire un programme en python pour simplifier une fraction et la rendre irréductible.
Exercice
21: Algorithmique - Piège très classique -
Python et les décimaux
-
Que va afficher le programme en python ci-dessous:
if 0.1+0.2==0.3:
print("titi")
else:
print("toto")
-
Tester le programme sur ordinateur. Expliquer.
