équation produit nul - Quatrième Troisième

Conseils

Equation produit nul

Exercice type

pour savoir résoudre des équations produit nul (expliqué en 4 min!)

Cours

Règle du produit nul

•

Règle du produit nul

• Résoudre une équation du type $\rm A\times B=0$

Une équation produit nul, c'est quoi? C'est une équation de la forme $\rm ...\times ...\times ....=0$

Méthode pour résoudre une équation produit nul

On applique tout simplement la règle du produit nul
$\rm A\times B=0$ signifie $\rm A=0$ ou $\rm B=0$
Puis on résout chaque équation séparément.

Exemple Résoudre $(5x-10)(2x+8)=0$

$(5x-10)(2x+8)$	$=$	$0$	On applique la règle du produit nul: $\rm A\times B=0$ signifie $\rm A=0$ ou $\rm B=0$
$5x-10=0$	ou	$2x+8=0$	Puis on résout chaque équation séparément.
$5x=10$	ou	$2x=-8$
$x=\dfrac {10}5$	ou	$x=-\dfrac 82$
$x=2$	ou	$x=-4$

L'équation a deux solutions: 2 et -4.

Cours

2 techniques pour résoudre une équation

•

Technique 1

Isoler l'inconnue Pour cela, on additionne, soustrait, multiplie, divise par la même quantité des 2 côtés, jusqu'à obtenir $x=...$

Bien vérifier

On utilise cette technique pour les équations du premier degré

Exemple Résoudre: $5x+4=3x+10$

$5x+4$	$=$	$3x+10$	pour regrouper les $x$ dans le membre de gauche, on soustrait $3x$ de chaque côté.
$5x+4-3x$	$=$	$3x+10-3x$
$5x-3x+4$	$=$	$3x-3x+10$
$2x+4$	$=$	$10$	Maintenant pour se débarrasser du $+4$, on fait l'opération inverse, on soustrait $4$ de chaque côté.
$2x+4-4$	$=$	$10-4$
$2x$	$=$	$6$
$2\times x$	$=$	$6$	Maintenant pour se débarrasser du $2\times$, on fait l'opération inverse, on divise par $2$ des deux côtés.
$\require{cancel} \dfrac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}$	$=$	$\dfrac 62$
$x$	$=$	$3$

Cette équation a donc une seule solution qui est $3$

•

Technique 2

Se ramener à une équation produit nul c'est à dire une équation du type $...\times ....=0$

On procède en $4$ étapes

Écrire l'équation sous la forme $\boldsymbol{....=0}$
On dit que l'on s'est ramené à 0. Car on a 0 dans le membre de droite.
On factorise au maximum le membre de gauche. Du coup on obtient: $...\times ....=0$
C'est ce que l'on appelle une équation produit nul. D'où le nom de cette deuxième technique.
Rappel: 2 méthodes pour factoriser
Méthode 1: Facteur commun
Méthode 2: utiliser une identité remarquable
En particulier penser à l'identité remarquable: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Appliquer la règle du produit nul
Rappel: règle du produit nul $\rm A\times B=0$ signifie $\rm A=0$ ou $\rm B=0$.
Résoudre les équations $...=0$ et $....=0$ séparément.

Exemple Résoudre: $x^2=5x$

$x^2$	$=$	$5x$	Étape 1: On regroupe tout dans le membre de gauche pour se ramener à $....=0$. Pour cela, on enlève $5x$ de chaque côté.
$x^2-5x$	$=$	$5x-5x$
$x^2-5x$	$=$	$0$	Étape 2: on factorise le membre de gauche. Ici on repère un facteur commun: $x$.
$x(x-5)$	$=$	$0$	Étape 3: on applique la règle du produit nul.
$x=0$	ou	$x-5=0$	Étape 4: On résout chaque équation séparément.
$x=0$	ou	$x=5$

L'équation a donc 2 solutions: $0$ et $5$.

•

Ne pas dire

Cours Erreur classique concernant les équations

•

Erreur à ne pas faire

Diviser par une quantité qui peut s'annuler, par exemple diviser par $x$ des 2 côtés.

Exemple $x^2=3x$

Avec l'équation $x^2=3x$, il est tentant de diviser par $x$ des 2 côtés, et on obtient:

$\dfrac{x^2}{x}$	$=$	$\dfrac{3x}{x}$	C'est ici que l'on fait une erreur, car on divise par $x$ qui peut s'annuler. Or on ne peut diviser par une quantité qui peut s'annuler.
$\require{cancel}\dfrac{x\times \cancel{x}}{\cancel{x}}$	$=$	$\dfrac{3\times \cancel{x}}{\cancel{x}}$
$x$	$=$	$3$	Ce qui est faux On a commis une erreur: on ne trouve qu'une solution $3$. Or il y en a deux: $3$ et $0$. On a perdu la deuxième solution $0$ lorsque l'on a divisé par $x$ car cela suppose $x$ est différent de $0$. En supposant $x$ différent de $0$, on perd donc la solution $0$.

Solveur d'équation en ligne
Tape ton équation + clique sur X=

Exercice 1:

Résoudre une équation produit nul - Transmath Troisième

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (6-3x)(4x+7)=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (x+8)(x-5)=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} 5x(4-x)=0$ $\color{red}{\textbf{d. }} (x+3)^2=0$

Exercice 2:

Résoudre une équation produit nul - Transmath Troisième

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (5+x)\times (1-2x)=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (5+x) + (1-2x)=0$

Exercice

3 Résoudre une équation produit nul - Transmath Troisième

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (x+4)(x-10)=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (4x-12)(7x+2)=0$

Exercice

4 Résoudre une équation produit nul - Transmath Troisième

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (2x+7)(3x-12)=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 3x(x+4)(10-2x)=0$

Exercice

5 Résoudre à l'aide d'une équation produit nul - Transmath Troisième

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 5x^2+3x=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 7x=2x^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^2=x$

Exercice 6:

Résoudre une équation produit nul

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 2t(-t-7)=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2a)+(5+a)=0$

Exercice 7:

Résoudre une équation produit nul

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 15(6x-15)=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 4x(6-x)(x+3)=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} (2x+8)^2=0$

Exercice 8:

Equation produit nul

Invente une équation qui admette -4 comme solution.
Invente une équation qui admette -1 et 3 comme solution.

Exercice 9:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation

Résoudre l'équation: $(3-2x)(2x+5)=(4x-5)(2x+5)$

Exercice 10:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation Vers la seconde

Résoudre l'équation:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^3=x$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^3=x^2$

Exercice 11:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 7(x+8)-(x+8)(x-3)=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (8-x)^2=(3x+5)(8-x)$

Exercice 12:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (x-1)^2=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2-1=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^2+1=0$

Exercice 13:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables a²-b² Vers la seconde

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 9-(x-4)^2=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2=(4x-5)^2$