Résoudre une équation - Quatrième Troisième

Conseils

Equation ♦ Cas général

Exercice type

Savoir résoudre une équation (en 5 min !)

Cours

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Isoler l'inconnue Pour cela, on additionne, soustrait, multiplie, divise par la même quantité des 2 côtés, jusqu'à obtenir $x=...$

Bien vérifier

On utilise cette technique pour les équations du premier degré

Exemple Résoudre: $5x+4=3x+10$

$5x+4$	$=$	$3x+10$	pour regrouper les $x$ dans le membre de gauche, on soustrait $3x$ de chaque côté.
$5x+4-3x$	$=$	$3x+10-3x$
$5x-3x+4$	$=$	$3x-3x+10$
$2x+4$	$=$	$10$	Maintenant pour se débarrasser du $+4$, on fait l'opération inverse, on soustrait $4$ de chaque côté.
$2x+4-4$	$=$	$10-4$
$2x$	$=$	$6$
$2\times x$	$=$	$6$	Maintenant pour se débarrasser du $2\times$, on fait l'opération inverse, on divise par $2$ des deux côtés.
$\require{cancel} \dfrac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}$	$=$	$\dfrac 62$
$x$	$=$	$3$

Cette équation a donc une seule solution qui est $3$

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Se ramener à une équation produit nul c'est à dire une équation du type $...\times ....=0$

On procède en $4$ étapes

Écrire l'équation sous la forme $\boldsymbol{....=0}$
On dit que l'on s'est ramené à 0. Car on a 0 dans le membre de droite.
On factorise au maximum le membre de gauche. Du coup on obtient: $...\times ....=0$
C'est ce que l'on appelle une équation produit nul. D'où le nom de cette deuxième technique.
Rappel: 2 méthodes pour factoriser
Méthode 1: Facteur commun
Méthode 2: utiliser une identité remarquable
En particulier penser à l'identité remarquable: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Appliquer la règle du produit nul
Rappel: règle du produit nul $\rm A\times B=0$ signifie $\rm A=0$ ou $\rm B=0$.
Résoudre les équations $...=0$ et $....=0$ séparément.

Exemple Résoudre: $x^2=5x$

$x^2$	$=$	$5x$	Étape 1: On regroupe tout dans le membre de gauche pour se ramener à $....=0$. Pour cela, on enlève $5x$ de chaque côté.
$x^2-5x$	$=$	$5x-5x$
$x^2-5x$	$=$	$0$	Étape 2: on factorise le membre de gauche. Ici on repère un facteur commun: $x$.
$x(x-5)$	$=$	$0$	Étape 3: on applique la règle du produit nul.
$x=0$	ou	$x-5=0$	Étape 4: On résout chaque équation séparément.
$x=0$	ou	$x=5$

L'équation a donc 2 solutions: $0$ et $5$.

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Cours Erreur classique concernant les équations

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Diviser par une quantité qui peut s'annuler, par exemple diviser par $x$ des 2 côtés.

Exemple $x^2=3x$

Avec l'équation $x^2=3x$, il est tentant de diviser par $x$ des 2 côtés, et on obtient:

$\dfrac{x^2}{x}$	$=$	$\dfrac{3x}{x}$	C'est ici que l'on fait une erreur, car on divise par $x$ qui peut s'annuler. Or on ne peut diviser par une quantité qui peut s'annuler.
$\require{cancel}\dfrac{x\times \cancel{x}}{\cancel{x}}$	$=$	$\dfrac{3\times \cancel{x}}{\cancel{x}}$
$x$	$=$	$3$	Ce qui est faux On a commis une erreur: on ne trouve qu'une solution $3$. Or il y en a deux: $3$ et $0$. On a perdu la deuxième solution $0$ lorsque l'on a divisé par $x$ car cela suppose $x$ est différent de $0$. En supposant $x$ différent de $0$, on perd donc la solution $0$.