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Exercices 1:
Savoir calculer avec des congruences - Arithmétique - Spé Maths
1) Démontrer que $115 \equiv 27 \, [11]$ et que $-39 \equiv 27 \, [11]$
2) Trouver un entier naturel $n$ inférieur à $100$ qui vérifie :
$\begin{cases}
n \equiv 27 \, & [11] \\
n \equiv 4 \, & [7]
\end{cases}
$
3) Combien d'entiers naturels inférieurs à $1000$ sont congrus à $27$ modulo $11$?
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Exercices 2:
Chiffre des unités avec les congruences - Arithmétique - Spé Maths
A l'aide des congruences, quel est le dernier chiffre dans l'écriture décimale de $3^{2015}$ ?
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Exercices 3:
Déterminer un reste à l'aide des congruences - Arithmétique - Spé Maths
Quel est le reste dans la division euclidienne de $451 \times 6^{43} - 912$ par $7$ ?
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Exercices 4:
$n^2$ pair alors $n$ pair - congruences - Arithmétique - Spé Maths
Soit $n$ un entier naturel. Démontrer à l'aide des congruences, que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
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Exercices 5:
Savoir calculer avec des congruences - Arithmétique - Spé Maths
Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$, $3\times 4^n+2$ est-il divisible par 11?
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Exercices 6:
Chiffre des unités à l'aide des congruences - Arithmétique - Spé Maths
1) Vérifier que $7^4 \equiv 1 \, [10]$.
2) Quel est le chiffre des unités (dans l'écriture décimale) de $7^{98}$ ?
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Exercices 7:
Congruences: erreurs classiques à ne pas faire - Arithmétique - Spé Maths
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant:
1) Si $a\times b\equiv 0 ~[6]$ alors $a\equiv 0 ~[6]$ ou $b \equiv 0 ~[6]$.
2) Si $2x\equiv 4 ~[12]$ alors $x\equiv 2 ~[12]$.
3) Si $2x\equiv 4 ~[12]$ alors $x\equiv 2 ~[6]$.
4) Si $7-x\equiv 5 ~[3]$ alors $x\equiv 2 ~[3]$.
5) Pour tout entier $x$, $x^5\equiv x ~[4]$.
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Exercices 8:
Résoudre une équation avec des congruences - Arithmétique - Spé Maths
On considère l'équation $(E)$ :
\[x^2 - 7y^2 = 3
\]
où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs.
1) Justifier que si le couple d'entiers $(x~;~y)$ est solution alors $x^2 \equiv 3 \, [7]$.
2) Déterminer les restes possibles de la division de $x^2$ par $7$.
3)
En déduire que l'équation $(E)$ n'a pas de solution.
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Exercices 9:
Montrer qu'un nombre est divisible par un autre avec les congruences
Démontrer que $2^{4n+1}+3^{4n+1}$ est divisible par $5$ quel que soit l'entier naturel $n$.
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Exercices 10:
Disjonction de cas et congruence - Arithmétique - Spé Maths
Démontrer en raisonnant par disjonction de cas que, pour tout entier naturel $n$, l'entier $n(n^2 + 5)$ est divisible par $3$.
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Exercices 11:
Critère de divisibilité par 3 et 9 - congruences - Arithmétique - Spé Maths
On considère un entier naturel $a$ défini par son écriture décimale $a = \overline{a_n a_{n-1}\cdots a_0}$ avec $a_n \neq 0$.
On a donc :
\[a=a_n \times 10^n + a_{n-1} \times 10^{n-1} + \cdots + a_1 \times 10 + a_0
\]
| 1) |
Montrer que l'entier $a$ est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$. |
|
2)
|
Montrer de même que l'entier $a$ est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est
divisible par $9$.
|
3) $983652145784512369566$ est-il divisible par $3$ ? Par $9$ ?
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Exercices 12:
Critère de divisibilité par 11 - Congruence - Arithmétique - Spé Maths
On considère un entier naturel $a$ défini par son écriture décimale $a=\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}$ avec $a_n\ne 0$.
On a donc: $a=a_n\times 10^n+a_{n-1}\times 10^{n-1}+...+a_1\times 10^1+a_0$. Le rang du chiffre $a_k$ est $k$.
-
Démontrer qu'un entier est divisible par 11 si, et seulement si la somme de ses chiffres de rang pair moins la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11.
-
L'entier 619 852 805 est-il divisible par 11?
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Exercices 13:
Critère de divisibilité par 7 - Congruence - Arithmétique - Spé Maths
On admet le critère de divisibilité par $7$ suivant :
Pour savoir si un entier naturel $n$ est divisible par $7$, on sépare le chiffre des unités de $n$ des autres chiffres
et on effectue la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du chiffre des unités.
L'entier $n$ est divisible par $7$, si et seulement si, cette différence est divisible par $7$.
-
A l'aide de ce critère, déterminer si $4361$ est divisible par $7$. Même question avec $542$.
-
Dans la suite de l'exercice, on propose de démontrer ce critère pour un nombre de trois chiffres.
Soit $n$ un entier naturel de trois chiffres dont l'écriture décimale est $n = \overline{abc}$ avec $a\neq 0$.
-
Montrer que $n \equiv 2a +3b + c \, [7]$.
-
On appelle $m$ l'entier égal à la différence décrite dans le critère.
Montrer que $m \equiv 3a + b -2c \, [7]$.
-
En déduire que $n-3m \equiv 0 \, [7]$ et $m+2n \equiv 0 \, [7]$.
-
En déduire que $m \equiv 0 \, [7]$ si et seulement si $n \equiv 0 \, [7]$ puis conclure.
Exercices 14:
divisibilité et congruence - Arithmétique - Spé Maths
Déterminer les entiers naturels $n$ pour lesquels $n^2-2n$ est divisible par 7.
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Exercices 15:
équation et congruence - Arithmétique - Spé Maths
1) Compléter la table des restes dans la congruence modulo $9$:
| $x\equiv$ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| $4x\equiv$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Résoudre alors l'équation $4x \equiv 5 \, [9] $
3) En remarquant que $4 \times 7 \equiv 1 \, [9]$, résoudre sans utiliser de table des restes l'équation :
$$7x \equiv 8 \, [9] $$
4) Résoudre enfin l'équation $3x \equiv 6 \, [9] $.
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Exercices 16:
compatibilité des congruences avec l'addition - démonstration du cours
Soient $a$, $b$, $c$, $d$ et $n$ cinq entiers avec $n$ non nul.
1) Montrer que si $a \equiv b \, [n]$ et $c \equiv d \, [n]$ alors $a + c \equiv b +d \, [n]$
2) En déduire que si $a \equiv b \, [n]$ alors $a + c \equiv b + c \, [n]$
3) La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie ?
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Exercices 17:
compatibilité des congruences avec la multiplication - démonstration du cours
Soient $a$, $b$, $c$, $d$ et $n$ cinq entiers avec $n$ non nul.
1. Montrer que si $a \equiv b \, [n]$ et $c \equiv d \, [n]$ alors $a c \equiv b d \, [n]$
2. En déduire que si $a \equiv b \, [n]$ alors $a c \equiv b c \, [n]$
3. (a) Vérifier que $6 \times 5 \equiv 6 \times 7 \, [12]$
3. (b) La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie ?
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Exercices 18:
compatibilité des congruences avec les puissances - démonstration du cours
Soient $a$, $b$ et $n$ trois entiers avec $n$ non nul.
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $p$ non nul, si $a \equiv b \, [n]$ alors $a ^p \equiv b^p\, [n]$.
2. Montrer que $41^{183} \equiv 6 \, [7]$.
3. (a) Vérifier que $2^3 \equiv 4^3 \, [7]$.
3. (b) Soit $p$ un entier naturel non nul, si $a ^p \equiv b^p\, [n]$, a-t-on $a \equiv b \, [n]$ ?
4. (a) A-t-on $2^2 \equiv 2^5 \, [3]$.
4. (b) Soit $p$ un entier non nul, si $a \equiv b \, [n]$, a-t-on $p ^a \equiv p^b\, [n]$ ?
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Exercices 19:
Chiffrement affine
Pour coder un message, on peut procéder de la façon suivante : chaque lettre du message munie de son numéro d'ordre $n$ (voir tableau ci-dessous) est remplacée par la
lettre de l'alphabet munie du numéro d'ordre $p$ ($0 \leq p \leq 25$ ) obtenu à l'aide de
la formule $p \equiv 3 n + 7 \, [26]$.
| A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
| 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
| 13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
1) Vérifier qu'avec ce chiffrement le S est remplacé par le J.
2) Coder le mot SECRET.
3) Montrer que si $p \equiv 3n + 7 \, [26]$ alors $n \equiv 9p +15 \, [26]$.
4) Déchiffrer le message suivant : KGHSX
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Exercices 20:
Raisonnement par récurrence - divisibilité - Congruence
Démontrer de deux façons différentes que pour tout entier naturel \(n\), \(3^{2n}-1\) est un multiple de 8.
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Exercices 21:
Suite et congruence - Un classique !
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=14$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 5u_n-6$.
-
Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_n$?
-
-
Montrer que pour tout entier $n$, $u_{n+2}\equiv u_n \, [4]$.
En déduire que, pour tout entier naturel $k$, $u_{2k+1}\equiv 0 \,[4]$ et $u_{2k}\equiv 2 \,[4]$.
-
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2u_n=5^{n+2}+3$.
-
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $5^{n+2}\equiv 25 \,[100]$.
-
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $2u_n \equiv 28 \,[100]$.
Déterminer les deux derniers chiffres dans l'écriture décimale de $u_n$.
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Exercices 22:
Nombres de Fermat - Un classique !
On appelle
nombres de Fermat les entiers $F_n = 2^{2^n}+1$ avec $n$ un entier naturel.
-
- Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$, $F_3$ et $F_4$. Que remarque-t-on ?
-
En 1640, Pierre de Fermat annonce qu'il est persuadé que les nombres $F_n$ sont premiers.
A l'aide de la calculatrice, vérifier que $641$ divise $F_5$. Quelle question peut-on se poser ?
-
-
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $F_{n+1} = (F_n -1)^2 +1$.
-
En déduire par un raisonnement par récurrence que pour $n \geqslant 2$, l'écriture décimale de $F_n$ se termine par un $7$.
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Exercices 23:
Triangle rectangle et côté divisible par 5 - Un classique !
-
Compléter la table des restes modulo 5 ci-dessous:
| $x\equiv $ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $x^2\equiv $ | | | | | |
-
En déduire qu'un triangle rectangle qui a tous ses côtés entiers, en a au moins un qui est divisible par 5.
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Exercices 24:
Rep-unit et congruence - Bac S 2016 amérique du sud spécialité maths
Un rép-unit est un entier naturel dont l'écriture décimale ne comprend que le chiffre $1$ comme par exemple $11$ ou encore $111 111$.
Le but de cet exercice est de trouver tous les répunits qui sont des carrés parfaits.
- Soit $n$ un entier naturel. On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre $1$.
- Quel peut être le chiffre des unités de $n$ ?
- En remarquant qu'un entier se terminant par $1$ ou $9$ peut s'écrire $10k + 1$ ou $10k-1$ avec $k$ entier, montrer que $n^2 \equiv 1 \, [20]$.
-
En déduire tous les répunits qui sont des carrés parfaits.
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Exercices 25:
congruence et divisibilité - spécialité maths
Montrer que la somme de trois cubes consécutifs (comme $1^3 + 2^3 + 3^3$) est toujours divisible par 9.
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Exercices 26:
congruence et équation - spécialité maths
On considère l'équation (E) : $17x^2-31y^2 = 22$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
Montrer en utilisant les congruences modulo 8 , que l'équation (E) n'a pas de solution.
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Exercices 27:
congruence et reste - spécialité maths
Déterminer selon les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^n$ par 3.
Exercices 28:
congruence et divisibilité - spécialité maths
Démontrer l'équivalence entre les deux propriétés $\rm P_1$ et $\rm P_2$ suivantes, pour $a$ entier
relatif :
$\rm P_1$ : L'équation d'inconnue $x$, $ax\equiv 1~[6]$ n'a aucune solution dans $\mathbb{Z}$
$\rm P_2$ : $a$ est divisible par 2 ou par 3.
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Exercices 29:
congruence et carré - spécialité maths
Montrer sans utiliser de calculatrice et à l'aide des congruences, que 1295377 n'est pas un carré parfait.
Exercices 30:
congruence et reste - spécialité maths
1) Déterminer le reste de $2^{2012}$ dans la division euclidienne par 5.
2) En déduire le chiffre des unités de $2^{2012}$.
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