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Exercices 1:
Division euclidienne et disjonction de cas - Arithmétique - Spé Maths
1) Montrer que tout entier $n$ s'écrit sous l'une des trois formes $3k$, $3k+1$, $3k+2$ avec $k\in
\mathbb{Z}$.
2) En déduire que pour tout entier $n$, $n(2n^2 + 1)$ est divisible par $3$.
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Exercices 2:
Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$ - Arithmétique - Spé Maths
Dans chaque cas, déterminer le reste et le quotient dans la division euclidienne de:
65 par -7
-65 par -7
-65 par 7
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Exercices 3:
Déterminer un reste dans une division euclidienne - Arithmétique -
Spécialité Maths
$n$ et $p$ sont deux entiers naturels. On sait que le reste de la division euclidienne de $n$ par 11 vaut
8
et que le reste de la division euclidienne de $p$ par 11 vaut 7.
Quel est le reste de la division euclidienne de $n+p$ par 11 ?
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Exercices 4:
Déterminer un reste dans une division euclidienne - Arithmétique -
Spécialité Maths
Un entier naturel $n$ est tel que si on le divise par 5 le reste vaut 3 et si on le divise par 6 le reste
augmente de 1 et le quotient diminue de 1. Déterminer $n$.
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Exercices 5:
Déterminer les restes possibles dans une division euclidienne -
Arithmétique - Spécialité Maths
Dans la division euclidienne de 1620 par un entier $b$ non nul, le quotient est 23 et le reste $r$.
Déterminer les valeurs possibles pour $b$ et $r$.
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Exercices 6:
Déterminer un reste - Division euclidienne - Arithmétique - Spé Maths
| 1) |
Sachant que le reste de la division euclidienne de l'entier naturel $a$ par $12$ est $7$,
déterminer
le reste de la division euclidienne de $a$ par $3$. |
| 2) |
Sachant que le reste de la division euclidienne de l'entier naturel $b$ par $3$ est $2$, déterminer
les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $b$ par $12$. |
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Exercices 7:
Division euclidienne pour montrer que A divise B - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n$ un entier naturel:
Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $n^2+5n+7$ par $n+3$.
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Exercices 8:
Division euclidienne pour déterminer un reste - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n$ un entier naturel:
Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $7n+6$ par $3n+1$.
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Exercices 9:
Division euclidienne pour déterminer un reste - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n$ un entier naturel:
Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $4n-3$ par $n+3$.
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Exercices 10:
Division euclidienne - déterminer un reste - Arithmétique - Spé Maths
Soit $n$ un entier naturel:
1) Déterminer, en fonction de $n$, le reste dans la division euclidienne de $n^2+2$ par $n+1$.
2) En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles $n+1$ divise $n^2+2$.
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Exercices 11:
Division euclidienne - Arithmétique - Spé Maths
La somme de deux entiers naturels $a$ et $b$ est égale à 1400.
Le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est 16.
1) Traduire l'énoncé. Quelle condition a-t-on sur $b$ ?
2) Montrer que $b$ est un diviseur de 1384.
3) En utilisant le fait que 173 est premier, déterminer les valeurs possibles pour $a$ et $b$.
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Exercices 12:
Division euclidienne - Arithmétique - Spé Maths
$n$ est un entier relatif. Le reste de la division euclidienne de $n$ par 13 est 7.
1) Quel est le reste dans la division euclidienne de $n^2$ par $13$.
2) Quel est le reste dans la division euclidienne de $1-3n$ par $13$.
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Exercices 13:
Division Euclidenne - Algorithmique
Écrire un algorithme qui affiche le quotient et le reste dans la division
euclidienne de $a$ par $b$
dans le cas
où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels. Les seules opérations autorisées sont l'addition et
la soustraction.
Exercices 14:
Division Euclidenne
Sachant que $23 \times 51 + 35 = 1208$, répondre rapidement aux questions suivantes :
1) Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de ${1208}$ par $51$ ?
2) Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de ${1208}$ par $23$ ?
Exercices 15:
Division Euclidenne
"Je suis un entier naturel. Quand on me divise par $4$, le reste est $3$, mais quand on me divise par $5$, le
reste est 1 et le quotient inchangé. Qui suis-je ?"
Exercices 16:
Division Euclidenne
Soit $a$ un entier qui a pour reste $4$ dans la division euclidienne par $6$ et $b$ un entier qui a pour reste
$3$ dans la division euclidienne par $6$.
Montrer que le produit de $a$ par $b$ est divisible par $6$.
Exercices 17:
Division Euclidenne
Trouver tous les entiers naturels qui ont un reste égal au cube de leur quotient dans la division euclidienne
par $64$.
Exercices 18:
Division Euclidenne
Soit $n$ un entier naturel non nul, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $2n^2 + n$
par $n + 1$.
Exercices 19:
Division Euclidenne
Dans cette question, $n$ est un entier naturel non divisible par $3$ et on pose : $N = n^2 +12n - 4$.
1) Démontrer que le reste de la division euclidienne de $n^2$ par $3$ est $1$.
2) En déduire que l'entier $N$ est divisible par $3$.
Exercices 20:
Division Euclidenne
Montrer que si $n$ n'est pas divisible par $4$ alors l'entier $(n^2 -1)(3n - 2)$ est divisible par
$4$.
Exercices 21:
Division Euclidenne
Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $5$, montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $p = 6k \pm
1$.
Exercices 22:
Division Euclidenne
Soit $n$ un entier naturel non nul, montrer que parmi $n+1$ entiers donnés, il en existe toujours au moins deux
tels que leur différence soit divisible par $n$.
Exercices 23:
Division Euclidenne
Montrer que la somme de $k$ entiers naturels consécutifs est divisible par $k$ si et seulement si $k$ est
impair.
Rappel : Pour tout $n$ entier non nul, $ 1+2+3 \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$
Exercices 24:
Division Euclidenne
Montrer que pour tous entiers $a$ et $b$, $ab(a^2-b^2)$ est divisible par 3.
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Exercices 25:
Nombres de Fermat - Algorithmique - Bac
Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\rm F}_n=2^{2^n}+1$.
Le mathématicien Pierre de Fermat pensait que ces nombres ${\rm F}_n$ étaient tous premiers.
Écrire puis programmer un algorithme pour savoir si $\rm F_5$ est premier. Que peut-on conclure?
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