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Prépa

Suites - Exercices pour préparer sa rentrée en prépa

Conseils

Exercice 1: Comparer des puissances - prépa MPSI PCSI

Pour tout entier $n\geqslant 1$, comparer $n^{n+1}$ et $(n+1)^n$.
On pourra étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$.

Exercice 2: Série harmonique - démontrer qu'elle est divergente par 2 méthodes Prépa MPSCI PCSI

Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, on note ${\rm H}_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac 1k$.
L'objectif de cet exercice est de démontrer par deux méthodes que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} {\rm H}_n=+\infty$.
    1. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, ${\rm H}_{2n}-{\rm H}_n\geqslant \dfrac 12$.
    2. En déduire que la suite $({\rm H}_n)$ n'est pas convergente. Conclure.
  1. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\rm H}_{2^{n+1}}-{\rm H}_{1}\geqslant \dfrac 12(n+1)$. Conclure.

Exercice 3: Série harmonique - démontrer qu'elle est divergente par comparaison à des intégrales + équivalent Prépa MPSCI PCSI

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, on pose ${\rm H}_n =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$.
L'objectif de cet exercice est de démontrer par comparaison à des intégrales que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} {\rm H}_n=+\infty$ et de donner un équivalent de ${\rm H}_n$.
  1. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{1}{k+1}\leqslant \displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}\leqslant\dfrac{1}{k}$.
  2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\ln (n+1) \leqslant {\rm H}_n $$\leqslant \ln (n+1) + 1 - \dfrac{1}{n+1}$.
  3. En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty} {\rm H}_n = +\infty$ puis montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{{\rm H}_n}{\ln n } = 1$.
  • Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
  • Ne pas dépasser la dose prescrite.
  • Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
  • L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
  • Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
  • En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.

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