Raisonnement par récurrence

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Raisonnement par récurrence

Exercice type

pour savoir faire un raisonnement par récurrence (en 8 min !)

Cours

, expliqué en vidéo

Comment faire un raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence une propriété ${\rm P}(n)$

on procède en 3 étapes:

Initialisation

On vérifie que ${\rm P}(n)$ est vraie pour une certaine valeur de $\boldsymbol{n}$. Notons-la $n_0$. On choisit pour $n_0$, la plus petite valeur de $n$ possible

La plupart du temps, on vérifie que P(0), P(1) ou P(2) est vraie.
Si vous oubliez l'initialisation, vous n'avez rien démontré, comme expliqué dans cet exemple
Hérédité

On suppose que ${\rm P}(n)$ est vraie pour UN entier $n\geqslant n_0$

C'est l'hypothèse de récurrence !

On rédige toujours de la façon suivante:
Soit un entier $n\geqslant n_0$. Supposons ${\rm P}(n)$ vraie et montrons que cela entraine que ${\rm P}(n+1)$ est vraie

Surtout ne pas écrire: "Supposons que pour tout entier naturel $n$, ${\rm P}(n)$ est vraie"

Car si on suppose la propriété vraie pour tout $n$, il n'y a donc rien à démontrer!
Le raisonnement par récurrence consiste à supposer qu'une propriété est vraie pour une valeur de $n$
et de montrer que cela entraine que la propriété est encore vraie au rang $n+1$.
Conclusion

On rédige la conclusion toujours de la même façon:
Comme ${\rm P}(n_0)$ est vraie et ${\rm P}(n)$ est héréditaire pour tout entier $n\geqslant n_0$, donc par récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant n_0$.

héréditaire signifie que la propriété se transmet de proche en proche !

Quand utiliser un raisonnement par récurrence

Cours

Le raisonnement par récurrence : nouvelle méthode pour étudier les variations d'une suite

, expliquée en vidéo

4 méthodes pour étudier les variations d'une suite

•

$u_{n+1}-u_n$

Calculer $u_{n+1}-u_n$
Etudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
Penser à factoriser $u_{n+1}-u_n$ puis à faire un tableau de signe.
Conclure
- Si à partir d'un certain rang, $\boldsymbol{u_{n+1}-u_n\geqslant 0}$, alors $(u_n)$ est croissante à partir de ce rang.
- Si à partir d'un certain rang, $\boldsymbol{u_{n+1}-u_n\leqslant 0}$, alors $(u_n)$ est décroissante à partir de ce rang.

•

$u_n=f(n)$

Etudier les variations de la fonction $f$
Pour cela, Penser à utiliser la dérivation.
Conclure
- Si $f$ est croissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est croissante pour $n\gt p$.
- Si $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est décroissante pour $n\gt p$.

Cette méthode est valable lorsque la suite est définie de manière explicite $u_n=f(n)$

•

Avec des fractions ou des puissance

S'il y a des fractions ou des puissances et que la suite est strictement positive, penser à calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et regarder si c'est plus grand ou plus petit que $\boldsymbol{1}$. Pour cela:

Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1$
Penser à mettre au même dénominateur et factoriser si besoin.
Conclure
Si à partir d'un certain rang:
- $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1\gt 0$ alors $(u_n)$ est croissante à partir de ce rang.
- $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1\lt 0$ alors $(u_n)$ est décroissante à partir de ce rang.

•

Avec un raisonnement par récurrence

Calculer les premiers termes pour avoir une idée des variations.
Si on veut montrer que la suite est:
- croissante, poser ${\rm P}(n): u_n\leqslant u_{n+1}$
- décroissante, poser ${\rm P}(n): u_n\geqslant u_{n+1}$
Démontrer la propriété ${\rm P}(n)$ par récurrence
Cas particulier très important: $u_{n+1}=f(u_n)$
Etudier les variations de $f$

Si $f$ est croissante, alors $f$ conserve l'ordre et on peut faire le raisonnement par récurrence suivant:

si $u_n\leqslant u_{n+1}$ alors $f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})$ car $f$ conserve l'ordre et donc $u_{n+1}\leqslant u_{n+2}$.

si $u_n\geqslant u_{n+1}$ alors $f(u_n)\geqslant f(u_{n+1})$ car $f$ conserve l'ordre et donc $u_{n+1}\geqslant u_{n+2}$.

$f$ peut être croissante et $(u_n)$ décroissante.
Regarder ces exemples: $u_{n+1}=\frac 12 u_n+1$ et $u_{n+1}=\frac {u_n}2+\frac 1 {u_n}$

A savoir

Si la suite est arithmétique

Si la suite est géométrique

Exercice 1: Somme de 1+2+...n et raisonnement par récurrence - Somme des n premiers entiers

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$: $1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Exercice 2: raisonnement par récurrence & suite

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+2$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=n(n+1)$.

Exercice 3: Démonstration par récurrence & Un+1=f(Un)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n\leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Exercice 4: Somme des carrés 1²+2²+3²+...+n² et raisonnement par récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$: $1^2+2^2+3^2+...+n^2$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Exercice 5: Somme des cubes et raisonnement récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$: $1^3+2^3+3^3+...+n^3$$=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

Exercice 6: Démontrer par récurrence qu'une suite est croissante - D'après question de Bac - suite arithmético-géométrique

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=0,4$ et pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_{n+1}=0,2 u_n+0,4$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

Exercice 7: Démontrer par récurrence qu'une suite est croissante ou décroissante - sujet bac Pondichéry 2015 partie B - suite arithmético-géométrique

Soit la suite $(h_n)$ définie par $h_0=80$ et pour tout entier naturel $n$, $h_{n+1}=0.75 h_n+30$.

Conjecturer les variations de $(h_n)$.
Démontrer par récurrence cette conjecture.

Exercice 8 Partie B - Bac 2022 métropole - Suite limite - raisonnement par récurrence

On injecte à un patient 2 mg de médicament. Puis toutes les heures, on réinjecte une dose de 1,8 mg. Une heure après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de $30 \%$ par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection. La suite $(u_n)$ désigne la quantité de médicament en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la n-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.

Calculer $u_1$.
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\leqslant u_{n+1} \lt 6$
2. En déduire que $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
3. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter.
Soit la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6-u_n$.
1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser la raison $q$ et $v_0$.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. On arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg. Déterminer le nombre d'injections réalisées.

Exercice 9: Démontrer par récurrence l'inégalité Bernoulli

$x$ est un réel positif. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$

Exercice 10: Situation concrète + raisonnement par récurrence

Un roi distribue des pièces d'or à ses ministres. Au premier ministre, il donne cinq pièces, au second ministre, il donne le double du premier moins deux pièces, au troisième ministre, il donne le double du second moins trois pièces et ainsi de suite ...
Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $a_n$ le nombre de pièces d'or distribuées au n-ième ministre.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $a_n=2^n+n+2$.
Combien de pièces d'or recevra le $10^{\text{e}}$ ministre?

Exercice 11: représenter une suite + raisonnement par récurrence suite bornée

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3-0,5u_n$.

Construire dans un repère orthonormé les droites d'équation $y=x$ et $y=3-0,5x$.
Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses et construire $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sur cet axe.
Sans calcul, indiquer si la suite $(u_n)$ semble bornée ou pas.
Démontrer par récurrence cette conjecture.

Exercice 12: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple - Idéal maths expert

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $5^n-2^n$ est divisible par $3$ à l'aide:

D'un raisonnement par récurrence
Des congruences (pour les maths experts)

Exercice 13: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $7^n-1$ est divisible par $6$.

Exercice 14: Conjecturer, démontrer par récurrence - expression de Un en fonction de n - formule explicite

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2+{u_n}^2}$.

Calculer les quatre premiers termes de la suite.
Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Démontrer cette conjecture.

Exercice 15: Raisonnement par récurrence & inégalité

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+5$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt n^2$.

Exercice 16: Raisonnement par récurrence - Les erreurs à éviter - Un classique !

Pour tout entier naturel $n$, on considère les deux propriétés suivantes:

$P_n: 10^n-1$ est divisible par 9
$Q_n: 10^n+1$ est divisible par 9

Démontrer que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
Démontrer que si $Q_n$ est vraie alors $Q_{n+1}$ est vraie.
Un élève affirme: " Donc $P_n$ et $Q_n$ sont vraies pour tout entier naturel $n$". Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
Démontrer que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Q_n$ est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Exercice 17: Démontrer par récurrence une inégalité

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 2$, $5^n\geqslant 4^n+3^n$.

Exercice 18: Démontrer par récurrence une inégalité

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 4$, $2^n\geqslant n^2$.

Exercice 19: Écrire la propriété P(n) au rang n+1

Soit ${\rm P}(n)$ la propriété définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par: $1\times 2+2\times 3+....+n\times (n+1)$$=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Écrire la propriété au rang 1, au rang 2.
Vérifier que la propriété est vraie au rang 1 et au rang 2.
Écrire la propriété au rang $n+1$.
Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, la propriété ${\rm P}(n)$ est vraie.

Raisonnement par récurrence - Démontrer par récurrence

pour savoir faire un raisonnement par récurrence (en 8 min !)