somme de terme de suite arithmétique et géométrique

Somme de suite arithmétique

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OK ♦ Cours en vidéo: Comment calculer la somme de termes d'une suite arithmétique

$\boldsymbol{1+2+...+n=}$

$\displaystyle \boldsymbol{1+2+...+n=\frac{n(n+1)}2=\textbf{Nombre de termes}\times \frac{\textbf{Premier terme }+\textbf{Dernier terme}}2 }$

$n$ est un entier naturel non nul.
$\boldsymbol{u_m+...+u_n=}$

Soit $\boldsymbol{(u_n)}$ une suite arithmétique
alors

$\displaystyle \boldsymbol{u_m+...+u_n= (n-m+1)\times\frac{u_m+u_n}2=\textbf{Nombre de termes}\times \frac{\textbf{Premier terme}+\textbf{Dernier terme}}2}$

avec $n\geqslant m$
$\boldsymbol{5+8+11+...+56=}$

$\displaystyle \boldsymbol{5+8+11+...+56=18 \times\frac{5+56}2=549}$

Pour trouver ce résultat,
On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r=3$ et de premier terme $u_0=5$

Car on passe d'un terme au suivant en rajoutant 3
et en commençant à 5.

Donc on a $u_n=u_0+nr=5+3n$.

Ensuite on cherche combien il y a de termes dans cette somme.
On cherche donc $n$ tel que $u_n=56$ donc $5+3n=56$ donc $n=17$.
On fait donc la somme de $u_0+u_1+...+u_{17}$.
Il y a donc 18 termes dans cette somme.

Somme de suite géométrique

♦ Cours en vidéo: Comment calculer une somme de termes d'une suite géométrique

$\boldsymbol{1+q+...+q^n=}$

$\displaystyle \boldsymbol{1+q+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\textbf{Premier terme}\times\frac{1-q^{\textbf{Nombre de termes}}}{1-q} }$

$q$ est un réel différent de 1.
$n$ est un entier naturel non nul.
$\boldsymbol{u_m+...+u_n=}$

Soit $\boldsymbol{(u_n)}$ une suite géométrique
alors

$\displaystyle \boldsymbol{u_m+...+u_n=\textbf{Premier terme}\times\frac{1-q^{\textbf{Nombre de termes}}}{1-q}}$

avec $n\gt m$
$q$ est un réel différent de 1.
$\boldsymbol{7+14+...+114688=}$

$\displaystyle \boldsymbol{7+14+...+114688=7 \times\frac{1-2^{15}}{1-2}=229369}$

Pour trouver ce résultat,
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=7$

Car on passe d'un terme au suivant en multipliant par 2
en commençant à 7.

Donc on a $u_n=u_0\times q^n=7\times 2^n$.

Ensuite on cherche combien il y a de termes dans cette somme.
On cherche donc $n$ tel que $u_n=114688$
Donc $7\times 2^n=114688$ donc $2^n=16384$ donc $n=14$.

Pour résoudre $2^n=16384$
On calcule $2^n$
en faisant varier $n$ jusqu'à obtenir 16384.

Autre méthode:
On utilise les logarithmes

On fait donc la somme de $u_0+u_1+...+u_{14}$.
Il y a donc 15 termes dans cette somme.

Exercices 1:

Somme de suite arithmétique et Python

OK 1) Calculer la somme $5+8+11+14+...+92$
2) Écrire un programme en Python pour calculer cette somme et retrouver le résultat de la question 1).

Exercices 2:

Somme de suite arithmétique et algorithmique

OK 1) Calculer la somme $20+23+26+...+59$
2) Écrire un algorithme pour vérifier que la réponse à la question 1) est correcte.

Exercices 3:

Calculer des sommes de suite arithmétique ou géométrique

OK Calculer rapidement les sommes suivantes. Le résultat final sera donné à l'aide de la calculatrice:
     $S_1 = 11 + 22 + 33 + 44 + \cdots + {9999}$
     $S_2 = 1 - 2 + 4 - 8 + \cdots - 2^{27}$
     $S_3 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + \cdots - 1000$

Exercices 4:

Somme des entiers impairs

OK Soit $n$ un entier naturel non nul.
Démontrer que la somme des $n$ premiers entiers naturels impairs est un carré parfait.

Exercices 5:

Poignées de mains

Dans une réunion, $25$ personnes sont présentes et elles se sont toutes serré la main pour se saluer. Combien de poignées de mains ont été échangées ?
Dans une autre réunion, $496$ poignées de mains ont été échangées. Sachant que tout le monde s'est salué, combien de personnes étaient présentes à cette réunion ?

Exercices 6:

Quelle somme ?

OK Une entreprise met en vente un produit qui connaît un succès grandissant. La première semaine de mise sur le marché de son produit lui a apporté 1000 € de recette. Chaque semaine, ses recettes augmentent de 5% par rapport à la semaine précédente. Quel est le montant total des recettes perçues en 30 semaines ?
On arrondira au centime près.

Exercices 7:

Suite et limite d'une somme

OK Soit $n$ un entier naturel, on pose : $S_n = 1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{2}{3}\right)^n$.
1) Calculer $S_0$, $S_1$ et $S_2$.
2) Montrer que la suite $(S_n)$ est strictement croissante.
3) Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $S_n = 3\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right)$.
4) En déduire que la suite $(S_n)$ converge et donner sa limite.

Exercices 8:

Somme de terme d'une suite géométrique : Démonstration de la formule

Compléter sans justifier l'égalité $1+q+q^2+q^3+....+q^n=...$
Préciser la condition de validité de cette formule.
On considère une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q\ne 1$.
Démontrer que pour tous entiers naturels $m$ et $n$ avec $m\leqslant n$:
$\boldsymbol{u_m+...+u_n=u_m\times \dfrac{1-q^{n-m+1}}{1-q}}$
A l'aide du résultat précédent, calculer la somme: $16+8+4+2+1+\dfrac12+...+\dfrac{1}{4096}$

Exercices 9:

Somme de terme d'une suite géométrique et jeu d'échec

OK D'après la légende, c'est en Inde que le jeu d'échecs a été inventé, pour le roi Belkib par le sage Sissa.
Le roi enchanté, décida de récompenser Sissa.
« - Que veux-tu ? » demanda alors le roi au sage.
«Voyez ce plateau de jeu, offrez moi un grain de riz sur la première case, puis 2 grains de riz sur la seconde case, 4 grains sur la troisième, 8 sur la quatrième, etc… » répliqua Sissa.
Le roi accepta sans hésitation, persuadé de s’en tirer à bon compte.

Déterminer le nombre de grain de riz que le roi doit donner, sachant que le plateau comporte 64 cases.
Sachant qu'un kilogramme de riz compte 4000 grains de riz, combien Sissa doit-il recevoir de tonne de riz?
Trouver sur internet, la production mondiale de riz et commenter ce résultat.

Exercices 10:

Somme de suite géométrique et aire de cercle

OK Sur la figure ci-dessous, le premier cercle a un rayon de 2 cm. Chaque cercle suivant a un rayon égal à la moitié du rayon du cercle précédent. Soit $A_n$ l'aire du $n$-ième cercle.

1) Exprimer $A_{n+1}$ en fonction de $A_n$.
2) Déterminer l'aire formée par ces cercles lorsqu'on continue cette construction indéfiniment.

Corrigé en vidéo

Exercices 11:

Somme de suite géométrique et aire

OK On partage un carré de 1 cm de côté en quatre carrés de même taille. On noircit le carré supérieur gauche. On recommence l'opération avec le carré inférieur droit.

Déterminer l'aire de la partie noircie lorsqu'on répète indéfiniment la construction.

Exercices 12:

Somme de suite arithmétique

OK On empile des boites. On place une première rangée sur le sol, puis une seconde par dessus avec une boite de moins et ainsi de suite. On appelle $u_0$ le nombre de boite au sol, $u_1$ le nombre de boite du 1\ier{} étage. $u_n$ est le nombre de boite du $n$-ième étage.

S'il y a $30$ boites au sol, combien y aura-t-il de boites dans la pyramide?
Si la pyramide est composée de $153$ boites, combien y-a-t-il de boite au sol?
On met $20$ boites au sol. Il n'y a pas assez de boite pour faire une pyramide complète. La pyramide est composé de $12$ rangées complètes. Combien de boites ont été empilées?

Exercices 13:

Somme de suite arithmétique et géométrique

OK Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=3n+2-0,8^n$.
Calculer la somme $u_0+u_1+...+u_{20}$.

Exercices 14:

Somme de suite géométrique et fractale - Aire du flocon de von Koch

OK On rappelle que pour tout entier naturel $n$, la figure $\mathscr{F}_n$ a un nombre de côtés égal à $c_n = 3 \times 4^n$, que ces côtés ont pour longueur $l_n = \dfrac{1}{3^n}$ et on note $A_n$ l'aire de $\mathscr{F}_n$.
1) Montrer que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $a$ est égale à $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.
2) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $A_{n+1} = A_n + \dfrac{\sqrt3}{12}\left(\dfrac{4}{9}\right)^n$.
3) En déduire que pour tout entier naturel $n$, $A_n = \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\dfrac{4}{9}\right)^n\right)$.
4) Le flocon de von Koch est la figure obtenue quand $n$ tend vers l'infini. Que dire de son aire ?