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Prépa

quantificateur universel ∀ & existentiel ∃

(En Construction)
Conseils
Exercice 1:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - Nier proposition - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
  1. $f$ est positive.
  2. $f$ est paire.
  3. $f$ est périodique.
  4. $f$ est constante.
  5. $f$ est croissante.
Exercice 2:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI CPGE

Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
  1. $f$ s'annule.
  2. $f$ s'annule au plus une fois.
  3. $f$ s'annule une fois exactement.
Exercice 3:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI CPGE ECS

Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
  1. $f$ est majorée.
  2. $f$ possède un minimum.
  3. $f$ est strictement décroissante.
Exercice 4:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
  1. la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive.
  2. la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir du rang 4.
  3. la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d'un certain rang.
Exercice 5:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
  1. la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée par 2.
  2. la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée.
  3. la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d'un certain rang.
Exercice 6:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

(On note P l'ensemble des nombres premiers.) Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs:
  1. Tout entier est pair ou impair.
  2. Il existe une infinité de nombres premiers.
  3. $2$ est le seul entier premier pair.
Exercice 7:

prépa MPSI PCSI ECS CPGE

$\rm I$ est un intervalle non vide de $\mathbb{R}$ et $f:{\rm I}\mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Nier les propositions suivantes:
  1. $\forall x\in{\rm I}, f(x)\ne 0$
  2. $\forall y\in\mathbb{R}, \exists x\in{\rm I}, f(x)=y$
  3. $\exists {\rm M}\in\mathbb{R}, \forall x\in{\rm I},\ |f(x)|\leqslant M$
  4. $\forall x\in {\rm I},\ f(x)\gt 0 \Rightarrow x\leqslant 0$
  5. $\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in {\rm I}^2,\ \big(|x-y|\leqslant \eta\implies |f(x)-f(y)|\leqslant\varepsilon\big)$
Exercice 8:

Distribuer un "pour tout ∀" sur un "ou" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

  1. Traduire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes:
    1. Tout entier naturel est pair ou impair.
    2. Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair.
  2. Que peut-on en conclure?
Exercice 9:

intervertir les quantificateurs universel et existentiel "il existe" et "pour tout" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

  1. Traduire à l'aide de quantificateurs la proposition suivante: Tout réel a un opposé
  2. Que penser de la proposition: $\exists y\in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R}, x+y=0$. Que peut-on en conclure?
  3. (à finir) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
    - ∀n€N ∃x€R x>2n
    on intervertit
    (exemple pour expliquer: ∃ n€N ∀m€N m⩽n et intervertir ∀n€N ∃m€N m⩽n expliquer on choisit d'abord ...)
Exercice 10:

quantificateurs - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
  1. $\forall x\in\mathbb{R},~ x\gt 2\Rightarrow x\geqslant 3$
  2. $\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^*)^2 ,~ x\lt y \Rightarrow \dfrac 1x \gt \dfrac 1y$
  3. $\exists x\in {\mathbb{R}}_+ ,~ x\lt \sqrt x$
  4. $\forall x,x' \in \mathbb{R} \backslash \{ 1\},~ x\ne x' \Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}\ne \dfrac{x'+1}{x'-1}$
  5. $\forall {\rm N}\in {\mathbb{N}}^* ,\exists n\in {\mathbb{N}}^*, ~ \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \geqslant {\rm N}$
  6. $\forall x\in \mathbb{R},~ x^2+x\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant 0$
Exercice 11:

quantificateurs - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

$f$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Nier les propositions suivantes:
  1. il existe $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
  2. Pour tout $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
  3. il existe un unique $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$


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