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Fonction logarithme népérien


fonction logarithme népérien
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Commencer par regarder Cours de math en vidéo pour avoir une vision d'ensemble
    • Faire les exercices sur : simplifier, (in)équation, limite, dérivation
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    • Démontrer les propriétés du logarithme
    • Faire les exercices type Bac
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices et comment le retenir Cours de math en vidéo ♦ Comprendre la définition mathématique Cours de math en vidéo
  • Quel que soit a>0, l'équation ex=a admet une unique solution, appelée logarithme népérien de a et notée ln(a)
    Autrement dit, ln(a) est la solution de l'équation ex=a. Donc eln(a)=
    eln(a)=a

    Et de plus quel que soit x, ln(ex)=
    $\ln(e^x)=x$.
  • La fonction logarithme népérien est définie sur 
    La fonction logarithme népérien est définie sur $]0;+\infty[$.
  • ln 1 =
    $\ln 1=0$
    ln e =
    $\ln e=1$
  • Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont 
    Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l'une de l'autre
    Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y=x
♦ Algorithme de Briggs - Python Cours de math en vidéo




Propriétés de la fonction logarithme népérien

  • Propriétés algébriques:
    $\ln\left( x\times y \right)=$
    $\ln\left( x\times y \right)=\ln x +\ln y$  
    où $x$ et $y$ sont strictement positifs
    \[\ln\left( \frac x y \right)=\]
    \[\ln\left( \frac x y \right)=\ln x -\ln y\]  
    où $x$ et $y$ sont strictement positifs
    \[\ln\left( x^n \right)=\]
    \[\ln\left( x^n \right)=n\ln x\] 
    où $x$ est strictement positif et $n$ un entier
    \[\ln\sqrt x =\]
    \[\ln \sqrt x =\frac 12\ln x\]
    où $x$ est strictement positif
  • Variations:
    La fonction logarithme est 
    La fonction logarithme est strictement croissante sur ]0;+∞[
  • Signe:
    La fonction logarithme est 
    La fonction logarithme est négative sur ]0;1] et positive sur [1;+∞[
    Donc lorsque $0<x≤1$, $\ln x$ est négatif !  
    Parfois les élèves pensent que $\ln x $ est toujours positif.
    C'est une erreur, ils confondent:
    x qui doit être strictement positif
    ln x qui peut être négatif
  • équation et inéquation avec des logarithmes :
    \[\ln a=b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ strictement positif et $b$ quelconque:
    $\ln a=b$ $\Leftrightarrow$ $a=e^b$
    \[\ln a=\ln b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ et $b$ strictement positifs:
    \[\ln a=\ln b \Leftrightarrow a=b\]
    \[\ln a\ge b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ strictement positif et $b$ quelconque:
    $\ln a\ge b$ $\Leftrightarrow$ $a\ge e^b$
    \[\ln a \ge \ln b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ et $b$ strictement positifs:
    \[\ln a \ge \ln b \Leftrightarrow a \ge b\]





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Exercices 1:

Simplifier une expression avec des logarithmes


Simplifier les expressions suivantes:
a) $\ln 6-\ln 2$
b) $\ln (e^2)$
c) $\ln\left( \dfrac 1{e^x}\right)$
d) $e^{\ln 4}$
e) $e^{2\ln 5}$
f) $e^{-\ln 3}$
g) $\ln \sqrt e$
h) $\ln (e^{-x})$
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Exercices 2:

Résoudre une équation avec des logarithmes ou des exponentielles


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) $\ln x=4$
b) $\ln (2-x)=0$
c) $\ln x=-1$
d) $e^{3-2x}=5$
e) $2e^x +10=6$
f) $2\ln x+6=0$

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Exercices 3:

Résoudre une équation avec des logarithmes


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) $\ln (2x+1)+\ln x=0$
b) $\ln (2-x)-2\ln x=0$
c) $\ln (x^2)=(\ln x)^2$

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Exercices 4: équation avec logarithme - Piège classique
On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$.
Clara affirme que cette équation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justifier.
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Exercices 5:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
a) $\ln (-x)\lt 2$
b) $\ln \left( 1+\dfrac 2x \right)-\ln x\geqslant 0$
c) $(\ln x)^2+\ln \left( \dfrac 1x \right) \geqslant 0$

Exercices 6:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Résoudre dans $\mathbb{R}$, les inéquations suivantes:
     a) $\ln (3-x)≤ -2$          b) $\ln (\ln x)<0$
Exercices 7:

Résoudre une inéquation avec des exponentielles


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
    a) $e^{-x}\gt 2$         b) $4-e^{3x}\ge0$         c) $e^{1-x}-2\le 0$         d) $e^{2x}-2e^x\ge 0$
Exercices 8:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes:
    a) $\ln(x+1)\times \ln(2-x)=0$         b) $\ln(x+1)\times \ln(2-x)\ge0$         c) $\ln x+ \ln(3x+2)> 0$
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Exercices 9:

Résoudre une équation avec des logarithmes en posant X=ln x - Changement d'inconnue


  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\rm X^2+X-6=0$
  2. En déduire les solutions des équations suivantes:
    a) $e^{2x}+e^x-6=0$
    b) $(\ln x)^2+\ln x -6=0$
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Exercices 10: Trouver le

signe d'une expression avec des logarithmes


Déterminer le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indiqué:
    a) $1-\ln x$ et I=$]0;+\infty[$
    b) $\ln(1-x)$ et I=$]-\infty;1[$
    c) $e^{2x}-2e^x$ et I=$\mathbb{R}$
Exercices 11:

inéquation du type a^n≤b

- inconnue en exposant
a) ($u_n$) est une suite géométrique de raison $q=1,1$ et $u_0=\frac 25$.
    Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\ge 100$.
b) ($u_n$) est une suite géométrique de raison $q=0.9$ et $u_0=20$.
    Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\le 0.1$.
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Exercices 12: inéquation du type a^n≤b - suite géométrique
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Exercices 13: Logarithme et probabilité
Lotfi lance un dé non truqué à 6 faces. Combien de fois doit-il lancer ce dé au minimum pour que la probabilité d'avoir au moins un six soit supérieure à $0,999$.
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Exercices 14: Logarithme et emprunt à intérêts composés
On place un capital à $4\%$ par an à intérêts composés, c'est à dire qu'à la fin de chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital. Au bout de combien d'années, le capital aura-t-il doublé?

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Stephane Chenevière
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