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Prépa

Nombre complexe - Module Argument

Conseils

Exercice 1: Nombres complexes - Partie réelle et imaginaire - prépa MPSI PCSI CPGE

Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ du plan complexe d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z^2}{z+i}$ soit imaginaire pur.

Exercice 2: Nombres complexes - Module - prépa MPSI PCSI CPGE

Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ du plan complexe d'affixe $z$ tels que $|z|=2|z-i|$.

Exercice 3: Technique de l'angle moitié pour factoriser

Soit $a\!\in ]0;\pi[$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants:
$ \color{red}{\textbf{a. }} \ 1+e^{ia}$ $ \color{red}{\textbf{b. }} \ e^{ia}-e^{2ia}$

Exercice 4: Technique de l'angle moitié pour factoriser

Soit $a\!\in ]0;\pi[$. Écrire sous forme exponentielle $\dfrac{1-e^{ia}}{1+e^{-ia}}$.

Exercice 5: Montrer qu'un nombre complexe est réel

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes de module $1$ tels que $ab\ne -1$.
Démontrer que $\dfrac {a+b}{1+ab}$ est réel par deux méthodes.

Exercice 6: équation avec z barre (conjugué)

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^n=\bar{z}$.

Exercice 7: Somme de cosinus avec des complexes

Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel non nul, montrer que:
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos(kx)=2^n \cos ^n \left(\frac x2\right)\cos\left(\frac{nx}2 \right)$

Exercice 8: Nombres complexes & points alignés

Déterminer $z$ tel que les points d'affixe $z$, $z^2$ et $z^4$ soient alignés.

Exercice 9: calculer une intégrale à l'aide d'une linéarisation - Formules d'Euler

Calculer $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 x) \cos ^3 (x) \, \mathrm{d}x$.

Exercice 10: Calculer une somme de sinus / cosinus à l'aide des formules d'Euler

Soit $x$ un réel avec $x \notin \{2k\pi,\, k \in \mathbb{Z} \}$ et $n$ un entier naturel non nul, montrer que : $\displaystyle \sum_{k=0}^n \sin(kx) = \sin\left(\dfrac{nx}2\right)\dfrac{\sin\left(\dfrac{(n+1)x}2\right)}{\sin\left(\dfrac x2\right)}$

Exercice 11: Module d'une somme et d'une différence & argument

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tous deux non nuls d'arguments respectifs $\theta$ et $\theta'$.
  1. Montrer par deux méthodes différentes que : $|z+z'| = |z-z'|$ $\Leftrightarrow$ $\theta' - \theta = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$
  2. Interpréter géométriquement.


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