Nombre complexe - Forme Algébrique - Conjugué - Partie réelle

Qu'est-ce qu'un nombre complexe?

♦ Pourquoi avoir créé les
nombres complexes

♦ Cours
sur les nombres complexes
en vidéo

Un nombre complexe est un nombre de la forme

a+ib
où a et b sont des nombres réels

et i un nombre tel que

i² = -1

L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ
On
calcule avec des nombres complexes
comme

avec les nombres réels

sans oublier que

i² = -1

Ecrire un nombre complexe sous
forme algébrique
c'est

l'écrire sous la forme a+ib où
a est réel et s'appelle la
partie réelle
et est notée Re(z)
b est réel et s'appelle la
partie imaginaire
et est notée Im(z)

La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre

réel
Si z = 3+2i alors la partie imaginaire vaut 2 et pas 2i !

Un nombre complexe est imaginaire pur lorsque

sa partie réelle vaut 0
$z=4i$ est imaginaire pur, on peut écrire $z=0+4i$, sa partie réelle est nulle.

Un nombre complexe est réel lorsque

sa partie imaginaire vaut 0
$z=5$ est réel, on peut écrire $z=5+0\times i$, sa partie imaginaire est nulle.

Un nombre complexe n'a qu'une seule forme algébrique.
Autrement dit a+ib = a'+ib' ⇔

a = a' et b = b'

N'appliquer cette propriété qu'avec $a$, $b$, $a'$, $b'$ réels !

Autrement dit 2 nombres complexes sont égaux si et seulement si

ils ont même partie réelle et même partie imaginaire

Qu'est-ce que le
conjugué d'un nombre complexe?

♦ Pour le savoir et connaitre les
propriétés du conjugué
, regarde le cours en vidéo

Si $z=a+ib$

avec a et b réels!

, le conjugué de $z$ est

noté $\overline z$ et $\overline z=a-ib$
$\overline {z+z'}=$

$\overline {z+z'}=\overline z+\overline {z'}$

$\overline {z\times z'}=$

$\overline {z\times z'}=\overline z\times\overline {z'}$

\[\overline {\left({\frac{z}{z'}}\right)}=\]

\[ \overline {\left({\frac{z}{z'}}\right)}=\frac{\overline z}{\overline {z'}}\]
Si $z=a+ib$

avec a et b réels!

, alors $z\times \overline z=$

$z\times \overline z=a^2+b^2$
$z$ est réel ⇔

$z=\overline z$
z est imaginaire pur ⇔

$z=-\overline z$
Pour écrire \[\frac{z}{z'}\] sous forme algébrique

Penser à multiplier au numérateur et dénominateur par $\overline{z'}$
puis développer.
Pour trouver la partie réelle et imaginaire

Penser à écrire le nombre sous forme algébrique
Et donc à appliquer la méthode précédente

Exercices 1: Déterminer la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe

Trouver la partie réelle et imaginaire des nombres complexes suivants:
\[a)~-2i+5\] \[b)~-3\] \[c)~2i\] \[d)~i(-4-i)\] \[e)~(1-3i)^2\]

Exercices 2: Déterminer la partie réelle et imaginaire avec des fractions - quotient

Trouver la partie réelle et imaginaire des nombres complexes suivants:
\[a)~\frac 1i\] \[b)~\frac{2-i}{3-2i}\] \[c)~\frac{2-i}{4}\] \[d)~1+i+i^2+i^3\]

Exercices 3: Savoir si un complexe est réel ou imaginaire pur ou ni l'un ni l'autre

Soit $z$ un nombre complexe quelconque.
a) $z+\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
b) $z-\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
c) $z\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
d) $(z-2i)(\overline z+2i)$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
e) \[\frac 1z+ \frac 1{\overline z}\] est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.

Corrigé en vidéo! Exercices 4: Ecrire un quotient de nombre complexe sous forme algébrique

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
\[a)~\frac{2}{1-i}\] \[b)~\frac{i-3}{1+2i}\] \[c)~1+\frac 1i\] \[d)~\frac{(2-i)(3+2i)}{4}\] \[e)~\frac{(2-i)^2}{3+i}\]

Exercices 5: Conjugué d'un nombre complexe - Démonstrations de cours - ROC

a) Démontrer que $\overline{\overline z}=z$
b) Démontrer que $\overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2$
c) Démontrer que $\overline{z_1\times z_2}=\overline z_1\times\overline z_2$
d) Démontrer que si $z_2 \ne 0$, \[\overline{\left(\frac {z_1} {z_2}\right)}=\frac{\overline z_1}{\overline z_2}\]
e) Démontrer que $\overline{z^n}=(\overline z)^n$ où $n$ est un entier naturel.

Corrigé en vidéo! Exercices 6: Déterminer la partie réelle et imaginaire en fonction de x et y

Soit $z$ un nombre complexe quelconque. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
Déterminer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes suivants en fonction de $x$ et $y$.
\[a)~2z+i\] \[a)~z\overline z\] \[a)~iz\] \[a)~(z-1)(\overline z+i)\]

Exercices 7: Déterminer l'inverse d'un nombre complexe

Déterminer les inverses des nombres suivants. On donnera le résultat sous forme algébrique.
\[a)~2-i\] \[b)~\frac{i}{2-3i}\] \[c)~2-i(4-2i)\] \[d)~(1-2i)(2+3i)\]

Exercices 8: Déterminer partie réelle - partie imaginaire

Soit $z$ un nombre complexe différent de $i$. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
On note \[z'=\frac{z+i}{z-i}\]. On appelle X et Y respectivement la partie réelle et imaginaire de $z'$.
Déterminer X et Y en fonction de $x$ et $y$.

Exercices 9: Déterminer partie réelle - partie imaginaire

Soit $z$ un nombre complexe non nul. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
On note \[z'=\frac{z-1}{i\overline z}\]. On appelle X et Y respectivement la partie réelle et imaginaire de $z'$.
Déterminer X et Y en fonction de $x$ et $y$.

Nombres complexes

nombres complexes

sur les nombres complexes

i² = -1

calcule avec des nombres complexes

i² = -1

forme algébrique

partie réelle

partie imaginaire

conjugué d'un nombre complexe?

propriétés du conjugué