Exercices 1: Déterminer la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe
Trouver la partie réelle et imaginaire des nombres complexes suivants:
\[a)~-2i+5\]
\[b)~-3\]
\[c)~2i\]
\[d)~i(-4-i)\]
\[e)~(1-3i)^2\]
Exercices 2: Déterminer la partie réelle et imaginaire avec des fractions -
quotient
Trouver la partie réelle et imaginaire des nombres complexes suivants:
\[a)~\frac 1i\] \[b)~\frac{2-i}{3-2i}\] \[c)~\frac{2-i}{4}\] \[d)~1+i+i^2+i^3\]
Exercices 3: Savoir si un complexe est réel ou imaginaire pur ou ni l'un ni
l'autre
Soit $z$ un nombre complexe quelconque.
a) $z+\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
b) $z-\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
c) $z\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
d) $(z-2i)(\overline z+2i)$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
e) \[\frac 1z+ \frac 1{\overline z}\] est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
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Exercices 4: Ecrire un quotient de nombre complexe sous forme algébrique
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
\[a)~\frac{2}{1-i}\]
\[b)~\frac{i-3}{1+2i}\]
\[c)~1+\frac 1i\]
\[d)~\frac{(2-i)(3+2i)}{4}\]
\[e)~\frac{(2-i)^2}{3+i}\]
Exercices 5: Conjugué d'un nombre complexe - Démonstrations de cours - ROC
a) Démontrer que $\overline{\overline z}=z$
b) Démontrer que $\overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2$
c) Démontrer que $\overline{z_1\times z_2}=\overline z_1\times\overline z_2$
d) Démontrer que si $z_2 \ne 0$, \[\overline{\left(\frac {z_1}
{z_2}\right)}=\frac{\overline z_1}{\overline z_2}\]
e) Démontrer que $\overline{z^n}=(\overline z)^n$ où $n$ est un entier naturel.
Exercices 7: Déterminer l'inverse d'un nombre complexe
Déterminer les inverses des nombres suivants. On donnera le résultat sous forme algébrique.
\[a)~2-i\]
\[b)~\frac{i}{2-3i}\]
\[c)~2-i(4-2i)\]
\[d)~(1-2i)(2+3i)\]
Exercices 8: Déterminer partie réelle - partie imaginaire
Soit $z$ un nombre complexe différent de $i$. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
On note \[z'=\frac{z+i}{z-i}\]. On appelle X et Y respectivement la partie réelle
et imaginaire de $z'$.
Déterminer X et Y en fonction de $x$ et $y$.
Exercices 9: Déterminer partie réelle - partie imaginaire - Nathan Hyperbole exercice
78 chapitre 1
On note $Z = \dfrac{\overline{z}}{3-\overline{z}}$ où $z$ est un nombre complexe
de forme algébrique $z = x + \mathrm{i}y$ où $x$ et $y$ sont des
nombres réels tels que $(x ~;~ y) \neq (3 ~;~ 0)$.
-
Vérifier que la forme algébrique de $Z$ est $Z = \dfrac{-x^2 - y^2 + 3x}{(3-x)^2 + y ^2} +
\mathrm{i}\dfrac{-3y}{(3-x)^2 + y ^2}$.
-
En déduire les nombres complexes $z$ tels que $Z$ soit
un nombre réel.
-
Proposer deux exemples de nombres complexes
$z \neq 3$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur.
Exercices 10: Déterminer partie réelle - partie imaginaire
Soit $z$ un nombre complexe non nul. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
On note \[z'=\frac{z-1}{i\overline z}\]. On appelle X et Y respectivement la
partie réelle et imaginaire de $z'$.
Déterminer X et Y en fonction de $x$ et $y$.
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