Théorème de Bézout - Cours et exercices - arithmétique

Théorème de Bézout

Théorème de Bézout:
     Si $ {\rm PGCD}(a;b)=1$

Si ${\rm PGCD}(a;b)=1$

Autrement dit
Si $\boldsymbol a$ et $ \boldsymbol b$ sont premiers entre eux

$\Downarrow$
il existe $ \boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ tels que $\boldsymbol{ au+bv=1}$

$\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont des des entiers relatifs
$\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ ne sont pas uniques!

Par exemple:
PGCD(7;20)=1
Donc il existe $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ entiers relatifs
tels que $7\boldsymbol u+20\boldsymbol v=1$

Avec $\boldsymbol{u=3}$ et $\boldsymbol{v=-1}$, on a bien $7\times 3+20\times(-1)=1$
Avec $\boldsymbol{u=-17}$ et $\boldsymbol{v=6}$, on a bien $7\times(-17)+20\times6=1$

Le théorème de Bézout permet de justifier l'existence de $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$.
Mais il ne donne pas les valeurs de $u$ et $v$.

Pour savoir trouver $u$ et $v$,
voir un peu plus loin

     Si $au+bv=1$

Si $\boldsymbol{au+bv=1}$

où $\boldsymbol a$, $\boldsymbol b$, $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont des entiers relatifs

$\Downarrow$
$\boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)=1$

Autrement dit $\boldsymbol a$ et $\boldsymbol b$ sont premiers entre eux.

Par exemple, on peut écrire que
${\bf 17}\times 3-2\times {\bf 25}=51-50=1$
Donc $\boldsymbol{\rm PGCD}(17;25)=1$

Autrement dit $\boldsymbol {17}$ et $\boldsymbol {25}$ sont premiers entre eux.

     Conclusion

$\boldsymbol{au+bv=1}\Leftrightarrow \boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)=1$

La propriété s'applique dans les deux sens!
Si on remplace 1 par D dans Bézout?
Si ${\rm PGCD}(a;b)={\rm D}$

Si $\boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)={\rm D}$
$\Downarrow$
il existe $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ tels que $\boldsymbol{au+bv={\rm D}}$

$\boldsymbol a$, $\boldsymbol b$, $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont des entiers relatifs.

Par exemple:
${\rm PGCD}(\boldsymbol 8;\boldsymbol{34})=2$
Donc il existe $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ entiers relatifs tels que
$\boldsymbol{8u+34v=2}$

Avec $\boldsymbol{u=-4}$ et $\boldsymbol{v=1}$, on a bien
$8\times (-4)+34\times 1=-32+34=2$

Si $au+bv={\rm D}$

Si $\boldsymbol{au+bv={\rm D}}$
On ne peut pas conclure que D est le PGCD de $a$ et $b$.
On peut juste conclure que le PGCD($a$;$b$) divise $\rm D$ .

Par exemple, on peut écrire que:
$\boldsymbol {14}\times 3-\boldsymbol 6\times 5=\boldsymbol{12}$
Mais on ne peut pas conclure que 12 est le PGCD de 14 et 6
On peut juste conclure que PGCD(14;6) divise 12!
Important

$\boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)=1\Leftrightarrow \boldsymbol{au+bv=1}$

La propriété s'applique dans les deux sens!

$\boldsymbol{\rm PGCD}(a;b)=D\Rightarrow \boldsymbol{au+bv=D}$

Mais la réciproque est fausse.
Elle est vraie lorsque $\boldsymbol{{\rm D}=1}$ !
c'est à dire dans le cas du théorème de Bézout!
Comment trouver $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ méthode souvent présentée mais longue avec risque d'erreur

Lorsqu'on a
$a\boldsymbol u+b\boldsymbol v={\rm D}$

avec $\boldsymbol {\rm D}={\rm PGCD}(a;b)$

Comment trouver $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ ?

Méthode 1: Par tâtonnements

Quand les nombres $\boldsymbol a$ et $\boldsymbol b$ sont petits
On essaye des valeurs pour $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$.

Par exemple, on a
$\boldsymbol{ {\rm PGCD}(12;42)=6}$
On cherche $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ tels que $\boldsymbol{12u+42v=6}$

Pour cela, on cherche les multiples de 12: 12,24,36,$\boldsymbol{48}$.
On cherche si besoin, les multiples de $\boldsymbol{42}$.
On cherche un écart de $\boldsymbol 6$ entre ces multiples.
On remarque qu'entre 48 et 42, on a bien un écart de 6!
Donc 48-42=6 donc $4\times 12+42\times (-1)=6$
donc $\boldsymbol{u=4}$ et $\boldsymbol{v=-1}$

Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide

Conseil
Avant d'utiliser l'algorithme d'Euclide,
essayer déjà la méthode par tatônnements
souvent plus rapide!

$\boldsymbol{{\rm PGCD}(87,123)=3}$
Cherchons $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ tels que
$\boldsymbol{87u+123v=3}$
On applique l'algorithme d'Euclide:

$123=1\times \boldsymbol{87}+\boldsymbol{36}$
$\boldsymbol{87}=2\times \boldsymbol{36}+\boldsymbol{15}$
$\boldsymbol{36}=2\times \boldsymbol{15}+\boldsymbol{6}$
$\boldsymbol{15}=2\times \boldsymbol{6}+\boldsymbol{3}$
$\boldsymbol{6}=2\times \boldsymbol{3}+\boldsymbol{0}$
Puis on remonte les calculs, comme expliqué dans la vidéo
$\boldsymbol{3}=15-2\times 6$
$\boldsymbol{3}=15-2\times (36-2\times 15)$
$\boldsymbol{3}=15-2\times 36+4\times 15$
$\boldsymbol{3}=5\times 15-2\times 36$
$\boldsymbol{3}=5\times(87-2\times 36)-2\times 36$
$\boldsymbol{3}=5\times 87-12\times 36$
$\boldsymbol{3}=5\times 87-12\times (123-87)$
$\boldsymbol{3}=17\times 87-12\times 123$
Donc $\boldsymbol{u=17}$ et $\boldsymbol{v=-12}$

👉 Méthode moins connue mais beaucoup plus rapide avec peu de risque d'erreur
Comment programmer Bézout en Python
Anecdote historique

Le théorème de Bézout a en fait été énoncé par Bachet de Méziriac.
Bézout a généralisé ce théorème aux polynômes.

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Exercices 1:

Comment trouver les coefficients de Bézout - Arithmétique - Spé Maths

A l'aide de l'algorithme d'Euclide, montrer que $368$ et $117$ sont premiers entre eux.
En déduire deux entiers $u$ et $v$ tels que $368u + 117v =1$.

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Exercices 2:

Théorème de Bézout: $a$ et $b^2$ premiers entre eux - Arithmétique - Spé Maths

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels (tous deux non nuls).

1)	Montrer à l'aide du théorème de Bézout que si $a$ et $b^2$ sont premiers entre eux alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
2)	Montrer (toujours à l'aide du théorème de Bézout) que réciproquement, si $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors $a$ et $b^2$ sont premiers entre eux.

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Exercices 3:

Théorème de Bézout: montrer que deux entiers sont premiers entre eux - Arithmétique - Spé Maths

Montrer que pour tout entier $n$, les entiers $2n^2 + 10n + 13$ et $n+3$ sont premiers entre eux.

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Exercices 4:

PGCD en fonction de n - Arithmétique - Spé Maths

Soit $n\in\mathbb{Z}$. Déterminer le PGCD de $n^2+n$ et $2n+1$ par 3 méthodes !!!!

Méthode 1: Chercher les coefficients dans l'égalité de Bézout
Méthode 2: A l'aide d'une division euclidienne
Méthode 3: A l'aide des propriétés du PGCD

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Exercices 5:

Inverse modulo $n$ - Application pour résoudre $ax\equiv b~ [n]$ - Arithmétique - Spé Maths

On dit qu'un entier $a$ admet un inverse modulo $n$ s'il existe un entier $b$ tel que $ab\equiv1 ~[n]$.
1) Démontrer que $a$ admet un inverse modulo $n$ si et seulement si $a$ et $n$ sont premiers entre eux.
2) Application:
a) 7 admet-il un inverse modulo 22? Dans l'affirmative, en donner un.
b) Résoudre $7x\equiv 5 ~[22]$.

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Exercices 6:

Théorème de Bézout : inverse modulo $n$ - Arithmétique - Spé Maths

Soient $a$ et $n$ deux entiers non nuls, on dit que $a$ admet un inverse modulo $n$ ou encore qu'il est inversible modulo $n$ s'il existe un entier $b$ tel que : \[a b \equiv 1\, [n] \]

1)	Montrer que $a$ est inversible modulo $n$ si et seulement si $a$ et $n$ sont premiers entre eux.
2)	Montrer que si $a$ est inversible modulo $n$, il existe un unique entier $r$ compris entre $1$ et $n-1$ tel que $a r \equiv 1\, [n]$. On dit alors que $r$ est l'inverse de $a$ modulo $n$
3)	$15$ est-il inversible modulo $26$ ? Si oui, déterminer son inverse. Même question avec $8$.

Exercices 7:

Théorème de Bézout - Arithmétique - Spé Maths

Énoncer le théorème de Bézout.
1. Montrer que pour tous entiers $a$, $b$, $u$ et $v$, on a :
  $(au + bv)^2 = (a + b)(au^2 + bv^2) + ab(2uv - u^2 - v^2)$
2. En déduire que si deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors $a+b$ et $ab$ sont aussi premiers entre eux.
Réciproquement, soient $a$ et $b$ deux entiers, montrer que si $a + b$ et $ab$ sont premiers entre eux alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

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Exercices 8:

Théorème de Bézout et PGCD - Arithmétique - Spé Maths

Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls avec $a$ et $c$ premiers entre eux.
Montrer que ${\rm PGCD}(a;bc)={\rm PGCD}(a;b)$.

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Exercices 9:

Révisions Bac - Suite et Arithmétique - PGCD - théorème de Bézout - Spé Maths

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_{n} = 9 \times 2^n - 6$. On définit la suite d'entiers $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_n = \dfrac{u_n}{6}$.

Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_n$ est divisible par $6$.
On considère l'affirmation : "pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n$ est un nombre premier".
Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_{n+1} - 2v_n = 1$.
2. En déduire que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
3. En déduire, pour tout entier $n \geqslant 1$, le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$.
1. Vérifier que $2^4 \equiv 1\:\: [5]$.
2. En déduire que si $n$ est de la forme $4k + 2$ avec $k$ entier naturel, alors $u_n$ est divisible par $5$.
3. Le nombre $u_n$ est-il divisible par $5$ pour les autres valeurs de l'entier naturel $n$ ?

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Exercices 10:

Théorème de Bézout et PGCD d'entiers dépendants de $n$ - Arithmétique - Spé Maths

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $5$,
on considère les deux entiers $a = n^3 - n^2 - 12n$ et $b = 2n^2 - 7n - 4$.
1) Montrer que $a$ et $b$ sont divisibles par $n-4$.
2) On pose $\alpha = 2n+1$ et $\beta = n+3$ et on note $d$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$.
     a) Etablir une relation entre $\alpha$ et $\beta$ indépendante de $n$.
     b) Démontrer que $d$ est un diviseur de $5$.
     c) Démontrer que $\alpha$ et $\beta$ sont divisibles par $5$ si et seulement si $n-2$ est divisible par $5$.
3) Montrer que $2n+1$ et $n$ sont premiers entre eux.
4) Discuter en fonction de $n$ du PGCD de $a$ et $b$.
5) Vérifier vos résultats pour $n=6$ et $n=7$.