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Exercices
1:
PGCD avec décomposition en facteurs premiers - Arithmétique - Spé Maths
Déterminer le $\rm PGCD$ de $4480$ et $400$ à l'aide de la décomposition en facteurs premiers.
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Exercices
2:
PGCD avec l'algorithme d'Euclide - Arithmétique - Spé Maths
Déterminer le $\rm PGCD$ de $3045$ et $300$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
Exercices
3:
Diviseurs communs à 2 nombres - PGCD - Arithmétique - Spé Maths
Déterminer les diviseurs communs à 168 et 204.
Exercices
4:
Diviseurs communs à 2 nombres - PGCD - Arithmétique - Spé Maths
Soit deux entiers naturels non nuls $m$ et $n$ tels que $m+n$ soit un nombre premier.
Montrer que $m$ et $n$ sont premiers entre eux.
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Exercices
5:
PGCD en fonction de n - Arithmétique - Spé Maths
Déterminer en fonction de l'entier naturel n, le PGCD de 5n+1 et 2n-1.
Exercices
6:
PGCD et fraction irréductible - Arithmétique - Spé Maths
Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que la fraction $\displaystyle \frac{3n+2}{n+2}$ soit
irréductible.
Exercices
7:
PGCD avec un paramètre - 2 méthodes - Lemme d'Euclide - Arithmétique - Spé
Maths
Soit $n$ un entier naturel.
Déterminer le PGCD de $9n + 4$ et de $2n + 1$ par 2 méthodes.
Exercices
8:
PGCD avec un paramètre - 2 méthodes - Lemme d'Euclide - Arithmétique - Spé
Maths
Déterminer en fonction de l'entier naturel $n$ le PGCD de $n + 4$ et de $3n + 7$ par 2 méthodes.
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Exercices
9:
Savoir utiliser la propriété caractéristique du PGCD - Arithmétique - Spé Maths
Trouver les entiers naturels $a$ et $b$ avec $a \lt b$ tels que : $ab = 7776$ et $\text{PGCD}(a~;~b) = 18$
Exercices
10:
Savoir utiliser la propriété caractéristique du PGCD - Arithmétique - Spé Maths
Trouver les entiers naturels $a$ et $b$ tels que : $ab-b^2 = 2028$ et $\text{PGCD}(a~;~b) = 13$
Exercices
11:
Savoir utiliser le lemme d'Euclide - Arithmétique - Spé Maths
1) Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $\text{PGCD}(2n + 3; n) = 3$.
2) En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $\text{PGCD}(2n + 3; n) = 1$.
Exercices
12:
Savoir utiliser le lemme d'Euclide - Arithmétique - Spé Maths
Déterminer pour tout entier naturel $n$, $\text{PGCD}(9n + 4; 2n + 1)$.
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Exercices
13:
PGCD et diviseurs communs - Arithmétique - Spé Maths
Si on divise $4294$ et $3521$ par un même entier naturel non nul $n$, les restes respectifs sont $10$ et
$11$.
Quel est cet entier?
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Exercices
14:
PGCD pour partager un pavé en cube
Une boîte parallélépipédique rectangle de dimensions intérieures $31,2$ cm, $13$ cm et $7,8$ cm
est entièrement remplie par des cubes à jouer dont l'arête est un nombre entier de millimètres.
Quel est le nombre minimal de cubes que peut contenir cette boîte ?
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Exercices
15:
PGCD et PPCM à partir de la décomposition en facteurs premiers
On pose $a = 588$ et $b = 616$.
1) Décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.
2) En déduire PGCD$(a~;~b)$.
3) Déduire également de la première question PPCM$(a~;~b)$
(c'est à dire le plus petit multiple commun à $a$ et à $b$).
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Exercices
16:
PGCD et suite - arithmétique - spé maths
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 =0$ et $u_{n+1} = 4u_n+1$.
| 1) |
a. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. |
|
b. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}$ et $u_n$ sont premiers entre eux. |
| 2) |
On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n + \dfrac{1}{3}$. |
|
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. |
|
b) En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$. |
| 3) |
Calculer PGCD($4^{n+1}-1~;~4^n-1$). |
Exercices
17:
PGCD et suite - arithmétique - spé maths
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 =14$ et $u_{n+1} = 5u_n+6$.
-
Calculer les premiers termes de la suite.
Que peut-on conjecturer pour le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$ ?
-
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est divisible par 2 mais pas par
3.
- Démontrer la conjecture faite à la première question.
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Exercices
18:
Nombres de Fermat et infinitude des nombres premiers - arithmétique - spé maths
On rappelle que les nombres de Fermat sont les entiers ${\rm F}_n = 2^{2^n}+1$ avec $n$ un
entier naturel.
1) Etablir que pour tous entiers naturels $n$ et $k$, on a : ${\rm F}_{n+k} - 1 = ({\rm F}_n -1)^{2^k}$.
2) En déduire que si $k$ est un entier naturel non nul alors pour tout entier naturel $n$, on a :
${\rm F}_{n+k} \equiv 2 [{\rm F}_n]$
3) En déduire que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
4) Retrouver alors qu'il existe une infinité de nombres premiers.
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Exercices
19:
PGCD : l'algorithme d'Euclide - Arithmétique - Spé Maths
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels, on note $\mathscr{D}(a~;~b)$ l'ensemble des diviseurs communs à $a$ et
$b$.
Dans la suite, on considère que $a \geqslant b >0$.
| 1. |
a) |
Montrer que $\mathscr{D}(a~;~b) = \mathscr{D}(a-b~;~b)$.
|
|
b) |
En déduire que $\text{PGCD}(a~;~b) = \text{PGCD}(a-b~;~b)$.
|
| 2. |
|
Soit $r$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$, montrer,
en vous aidant de la question précédente, que $\text{PGCD}(a~;~b) = \text{PGCD}(r~;~b)$.
|
| 3. |
|
En vous aidant des divisions euclidiennes ci-dessous, déterminer : $\text{PGCD}(416~;~182)$.
$416 = 2 \times 182 +52$
$182 = 3 \times 52 + 26$
$52 = 2 \times 26 + 0$
|
| 4. |
|
Ecrire en langage naturel un algorithme permettant de déterminer le PGCD de $a$ et $b$. |
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Exercices
20:
Démontrer PGCD(a;b)=PGCD(b;r) - Propriété très importante - Arithmétique - Spé
Maths
Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que 0 < $b\leqslant a$.
Démontrer que ${\rm PGCD}(a;b)={\rm PGCD} (b;r)$ où $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par
$b$.
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Exercices
21:
PGCD égal à la différence - Arithmétique - Spé Maths
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $a >b > 0$. Montrer que:
$\text{PGCD}(a~;~b) = a -b$ si et seulement si, il existe un entier $k$ tel que $a = (k+1)(a - b) $ et $b = k(a
- b) $.
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