On considère une matrice ${\rm A}\in \mathscr{M}_n{(\mathbb{R})}$ telle que ${\rm A}^3=-4{\rm
A}+5{\rm I}_n$ et $1$ n'est pas valeur propre de $\rm A$.
${\rm A}$ est-elle diagonalisable dans $\mathscr{M}_n{(\mathbb{R})}$?
Justifier que ${\rm A}$ est inversible puis donner son inverse.
Déterminer un polynôme annulateur de ${\rm A}$ de degré $2$.
En déduire une autre expression de l'inverse de ${\rm A}$.
Démontrer par $2$ méthodes que $n$ est pair.
Déterminer la trace et le déterminant de $\rm A$ en fonction de $n$.
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel E de dimension finie.
Démontrer que si $u$ et $v$ commutent alors les sous-espaces propres de $u$ sont stables
par $v$.
Soit ${\rm F}\ne\{0\}$ un sous-espace vectoriel de E stable par $u$. Démontrer que si
$u$ est diagonalisable alors $u_{|\rm F}$ est aussi diagonalisable.
Démontrer que si $u$ et $v$ sont diagonalisables et $u\circ v=v\circ
u$ alors il existe une base de E dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont
simultanément diagonales.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
