Intervalle de fluctuation

Cours

♦ Cours en vidéo: Intervalle de fluctuation au seuil de 95%

Soit $p$ la proportion d'un caractère dans une population

Par exemple:
- La proportion de gauchers dans la population française.
- La proportion de personnes votant pour un candidat.
Soit $f$ la fréquence du caractère dans un échantillon

La fréquence $f=\frac {\textbf{nombre d'individus ayant ce caractère dans l'échantillon}}{\textbf{taille de l'échantillon}}$
Quand utiliser un intervalle de fluctuation

- Pour estimer $f$.
- Pour vérifier la valeur de $p$ qu'on nous donne.
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%

L'intervalle \[{\rm I}_n=\left[p-1.96\frac{\sqrt {p(1-p)}}{\sqrt n}; p+1.96\frac{\sqrt {p(1-p)}}{\sqrt n}\right]\]
est appelé intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

$p$ est la proportion du caractère étudié.
$n$ est la taille de l'échantillon.
Lien avec la fréquence

Lorsque $n$ augmente, la probabilité que $f$ appartienne à ${\rm I}_n$ tend vers 0.95

D'où le terme "asymptotique".
Conditions d'utilisation

Pour pouvoir utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique,
on vérifie que les 3 conditions suivantes sont remplies:
$n\geqslant 30$ et $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$

$p$ est la proportion du caractère étudié.
$n$ est la taille de l'échantillon.
Règle de décision

Pour vérifier la valeur de $p$:
1) On fait l'hypothèse que la proportion du caractère est la valeur de $p$ qu'on nous donne.
2) On détermine un intervalle de fluctuation ${\rm I}_n$ à l'aide $p$ et $n$.
2) On vérifie que les 3 conditions d'utilisation sont bien remplies

$n\geqslant 30$ et $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$

3) On conclut:
- Si $f$ n'appartient pas à ${\rm I}_n$, on rejette l'hypothèse faite sur $p$

Dans le cas où on a utilisé un intervalle au seuil de 95%
Il y a un risque d'erreur d'environ 5%
c'est à dire qu'il y a une probabilité
de rejetter à tort l'hypothèse faite sur $p$ d'environ 0,05.

- Si $f$ appartient à ${\rm I}_n$, on accepte l'hypothèse

Quand on accepte l'hypothèse,
on ne peut pas quantifier le risque d'erreur,
c'est à dire le risque d'accepter à tort l'hypothèse faite sur $p$.

♦ Cours en vidéo: Intervalle de fluctuation au seuil de $1-\alpha$

Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $1-\alpha$

Au lieu de travailler au seuil de 95%, on peut travailler avec un autre seuil, $1-\alpha$.
La formule est un petit peu plus compliquée,
mais l'utilisation de l'intervalle de fluctuation reste la même.
La formule au seuil de $1-\alpha$

L'intervalle \[{\rm I}_n=\left[p-u_\alpha\frac{\sqrt {p(1-p)}}{\sqrt n}; p+u_\alpha\frac{\sqrt {p(1-p)}}{\sqrt n}\right]\]
est appelé intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $1-\alpha$.

$p$ est la proportion du caractère étudié.
$n$ est la taille de l'échantillon.
Pour déterminer $u_\alpha$:
Cliquer Ici

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Exercices 1: Utiliser un

pour prendre une décision

Dans un casino, un contrôleur doit vérifier que la probabilité de gain d'une machine à sous est de $0,1$.
A l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, indiquer dans chaque cas, sa conclusion:
1) Le contrôleur joue 40 fois et gagne 3 fois.
2) Le contrôleur joue 100 fois et gagne 4 fois.
3) Le contrôleur joue 400 fois et gagne 32 fois.

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Exercices 2: Utiliser un

intervalle de fluctuation

pour prendre une décision

Des étudiants se préparent à un examen portant sur 4 thèmes (${\rm A,~ B,~ C}$ et ${\rm D}$). Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. Peut-on rejeter au seuil de 95%, l'affirmation suivante:
''Il y a une chance sur deux que le thème $\rm A$ soit évalué le jour de l'examen.''

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Exercices 3: Utiliser un

intervalle de fluctuation

- prise de décision - Bac S Pondichéry 2018 - Antilles Guyane juin 2018

Un exploitant affirme que la densité de sapins dans une forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres. Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres. Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant ?
Une entreprise annonce que 30% des paquets de sucre qu'elle conditionne contiennent du sucre provenant de l'exploitation U. Un acheteur veut vérifier cette proportion annoncée. Il prélève 150 paquets pris au hasard dans la production de l'entreprise. Parmi ces paquets, 30 contiennent du sucre provenant de l'exploitation U. A-t-il des raisons de remettre en question l'affirmation de l'entreprise ?