Matrice - définition et calculs

Une matrice est un tableau de nombres.
Il n'y a pas de séparation verticale ou horizontale, contrairement aux tableaux.
Les nombres qui composent la matrice s'appellent les coefficients.

Exemple:
$\begin{pmatrix} 2&3\\ 4&-1\\-3&-5 \end{pmatrix}$

Dans cet exemple,
il s'agit d'une matrice ayant 3 lignes et 2 colonnes.
On dit que la taille de cette matrice est $3\times 2$.
Pour la taille,
le premier nombre indique toujours le nombre de lignes
le deuxième nombre indique le nombre de colonnes.

Les matrices généralisent
la notion de vecteur avec ses coordonnées.

Si la matrice a $m$ lignes et $n$ colonnes
On dit que la matrice est de taille ou dimension $m\times n$.

On donne toujours la taille
dans l'ordre
ligne puis colonne

Voici une matrice de taille $2\times 3$
$\begin{pmatrix} 2&-3&5\\ 4&0&-1 \end{pmatrix}$
2 lignes et 3 colonnes

Le coefficient $a_{2,4}$ désigne le nombre
situé à la 2^ième ligne et 4^ième colonne.

On indique toujours la ligne puis la colonne et pas l'inverse!

Dans cette matrice
$\begin{pmatrix} 2&-3&5\\ 4&0&-1 \end{pmatrix}$
$a_{1,2}=-3$

$a_{1,2}$ désigne le nombre situé
sur la 1^ère ligne, 2^ième colonne

$a_{2,3}=-1$

$a_{2,3}$ désigne le nombre situé
sur la 2^ième ligne, 3^ième colonne

Dire que deux matrices sont égales
signifie
qu'elles ont le même nombre de lignes et de colonnes
et les mêmes coefficients aux même emplacements

Une matrice carrée est une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes.

Voici une matrice carrée
$\begin{pmatrix} 2&-3&5\\ 4&0&-1\\-1&3&8 \end{pmatrix}$

Quand une matrice est carrée,
au lieu de dire que
sa taille est $3\times 3$
on peut dire que cette matrice est d'ordre 3.

Quand une matrice est carrée
et a $n$ lignes et $n$ colonnes
au lieu de dire que sa taille est $n\times n$
on peut dire qu'elle est d'ordre $n$.

Une matrice nulle est une matrice où tous les coefficients sont nuls.
$0_n$ désigne la matrice nulle ayant $n$ lignes et $n$ colonnes.

Voici $0_3$
$\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$

Une matrice diagonale est une matrice carrée où
tous les coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

Voici une matrice diagonale d'ordre 3
$\begin{pmatrix} 2&0&0\\0&0&0\\0&0&-5 \end{pmatrix}$

Les coefficients sur la diagonale
peuvent être nuls ou pas.

La matrice identité d'ordre $n$, notée ${\rm I}_n$
désigne la matrice diagonale d'ordre $n$ où tous les coefficients de la diagonale valent 1.

Voici $\rm I_3$
$\rm I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$

On appelle matrice ligne
une matrice n'ayant qu'une seule ligne.
Sa taille est donc de la forme $1\times n$

Voici une matrice ligne
$\begin{pmatrix} 1&-20&3 \end{pmatrix}$

On appelle matrice colonne
une matrice n'ayant qu'une seule colonne.
Sa taille est donc de la forme $n\times 1$

Voici une matrice colonne
$\begin{pmatrix} 8\\16\\-1 \end{pmatrix}$

On ne peut additionner 2 matrices que si elles ont la même taille,
même nombre de ligne et de colonne.

$\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -5&7& 1\\3&2& 1\\5&3& 2 \end{pmatrix}$

Ces 2 matrices ne peuvent pas être additionnées,
car elles n'ont pas la même taille,
car pas le même nombre de colonnes!

$\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -5&7\\3&2\\5&2 \end{pmatrix}$

Ces 2 matrices peuvent être additionnées,
car elles ont la même taille,
même nombre de lignes et de colonnes!

Pour additionner 2 matrices,
on additionne les coefficients situés à la même place.
La somme des matrices A et B est notée $\rm A+B$.

$\rm A=\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ et  $\rm B=\begin{pmatrix} -5&7\\3&2\\5&2 \end{pmatrix}$ alors $\rm A+B=\begin{pmatrix} 8+(-5)& 2+7\\16+3& 1+2\\-1+5& 0+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3& 9\\19& 3\\4& 2 \end{pmatrix}$

Si vous vous souvenez des vecteurs,
l'addition des matrices
suit le même principe que celui qu'on utilise
pour additionner 2 vecteurs avec leurs coordonnées!

On multiplie tous les coefficients par $k$.
Quand on multiplie la matrice A par 3, cela se note 3A.
$\rm A=\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ alors $\rm 3A=\begin{pmatrix} 3\times 8& 3\times 2\\3\times 16& 3\times 1\\3\times (-1)& 3\times 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 24& 6\\48& 3\\-3& 0 \end{pmatrix}$

Si vous vous souvenez des vecteurs,
le produit d'une matrice par un nombre
suit le même principe que celui qu'on utilise
pour multiplier un vecteur avec ses coordonnées par un nombre.

La matrice -A désigne la matrice où tous les coefficients ont été multipliés par -1.
La matrice -A est appelée matrice opposée à A
Car A+(-A) est une matrice nulle.

$\rm A=\begin{pmatrix} 8& 2\\16& 1\\-1& 0 \end{pmatrix}$ alors $\rm -A=\begin{pmatrix} -8& -2\\-16& -1\\1& 0 \end{pmatrix}$
Et on a $\rm A+(-A)=\begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\\0& 0 \end{pmatrix}$

A+(-B) se note A-B

A+B=B+A

On dit que l'addition des matrices est commutative.
On verra que ce n'est pas le cas pour le produit des matrices.

(A+B)+C=A+(B+C)

On dit que l'addition des matrices est associative.
Dans cette somme,
les parenthèses sont donc inutiles
et on peut écrire A+B+C sans parenthèse!

$\lambda \rm(A+B)=\lambda A+\lambda B$
$(\lambda +\lambda^\prime){\rm A}=\lambda {\rm A}+\lambda^\prime {\rm A}$
$\lambda (\lambda^\prime {\rm A})=(\lambda\cdot \lambda^\prime){\rm A}$

A, B et C sont des matrices de même taille.
$\lambda$ et $\lambda^\prime$ sont des réels.

$\rm \frac A3$ mais $\rm\frac 13 A$

Car on n'a pas défini la division d'une matrice par un nombre!

Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne
$\begin{pmatrix} 2& 3& 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\\ 4\\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\times 5+3\times 4+1\times 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 28\end{pmatrix}$

Pour que le produit soit possible,
il faut que la ligne et la colonne aient le même nombre d'éléments.

Autrement dit
il faut que le nombre de colonnes de la première matrice
soit égal au nombre de lignes de la deuxième.

Plus généralement
$\begin{pmatrix} a_1& \ldots & a_p\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_p\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} a_1b_1+a_2b_2+...+a_pb_p\end{pmatrix}}_{\text{Matrice de taille }1\times 1}$

Quand on multiplie une matrice ligne
par une matrice colonne ayant le même nombre d'éléments
on obtient une matrice ayant 1 seul coefficient,
c'est à dire de taille $1\times 1$.

Pour multiplier deux matrices A et B
On multiplie chaque ligne de la première avec chaque colonne de la seconde.

Quand on multiplie la 3^ième ligne de A avec la 2^ième colonne de B
on obtient le coefficient situé à la 3^ième ligne et 2^ième colonne de $\rm A\times B$.

Exemple:
$\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\\2&1&3\\\cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \cdot & 5\\ \cdot & 3\\ \cdot & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot\\ \cdot & 19 \\ \cdot & \cdot\end{pmatrix}$

$19=2\times 5+1\times 3+3\times 2$

Pour que le produit de 2 matrices soit possible
il faut que le nombre de colonnes de la première
soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
$\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}=$

Ce produit n'est pas possible car
le nombre de colonnes de la première matrice
n'est pas égal au nombre de lignes de la seconde.

La 1^ère matrice a 3 colonnes,
tandis que la 2^ième a 2 lignes!

$\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}=$

Ce produit est possible car
le nombre de colonnes de la première matrice
est égal au nombre de lignes de la seconde.

On a alors
$\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \end{pmatrix}$

Pour multiplier 2 matrices A et B
on pourra utiliser la disposition suivante:

	$\begin{pmatrix} \cdot & 5\\ \cdot & 3\\ \cdot & 2 \end{pmatrix}$ Ici on écrit la matrice B
$\begin{pmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot\\2&1&3\\\cdot & \cdot & \cdot\end{pmatrix}$ Ici on place la matrice A	$\begin{pmatrix}\cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot\\ \cdot & 19 \\ \cdot & \cdot\end{pmatrix}$ Ici on otient $\rm A\times B$ $19=2\times 5+1\times 3+3\times 2$

$\rm A\times (B+C)=A\times B+A\times C$
$\rm (B+C)\times A=B\times A+C\times A$
$\rm A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$

Cette propriété indique que
le produit matriciel est associatif.

Quand on multiplie 3 matrices ou plus,
les parenthèses sont donc inutiles.

$ k\cdot {\rm(A\times B)}=(k\cdot {\rm A})\times {\rm B}={\rm A}\times(k\cdot \rm B)$
${\rm A}\times {\rm I}_n=\rm A$ et ${\rm I}_n\times {\rm A}=\rm A$

Quand on multiplie par la matrice identité,
ça ne change rien.
D'où son nom!

Ces propriétés s'entendent
sous réserve que les produits soient possibles.
${\rm I}_n$ désigne la matrice identité d'ordre $n$.

$\rm A\times B$ en général n'est pas égal à $\rm B\times A$

Le produit matriciel n'est pas commutatif.
$\begin{pmatrix} 1&0\\1&3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2&1\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&1\\2&10\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2&1\\0&3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1&0\\1&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3&3\\3&9\end{pmatrix}$

$\rm A\times B=0$ n'entraine pas en général $\rm A=0$ ou $\rm B=0$

Si $\rm A=\begin{pmatrix} 1&0\\1&0\end{pmatrix}$ et $\rm B=\begin{pmatrix} 0&0\\0&1\end{pmatrix}$
alors $\rm A\times B=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
Et pourtant ni A ni B ne sont des matrices nulles.

$\rm A\times B=A\times C$ n'entraine pas en général $\rm B=C$

On ne peut pas "diviser" par A,
même si A n'est pas nulle.

1) Aller dans le menu principal - Touche MENU
2) Cliquer 1 - RUN
3) Choisir: ▶Mat
4) Rentrer les dimensions de la matrice DIM

Ligne puis colonne !!!!

5) Rentrer les coefficients
6) Sortir de ce menu: EXIT + EXIT

Cliquer 2 fois sur EXIT

7) Taper MAT A * MAT B

Pour MAT: appuyer sur Shift puis sur 2
Pour A: appuyer sur ALPHA puis sur X,θ,T

C'est la touche où il y a A

Pour B: appuyer sur ALPHA puis sur Log

C'est la touche où il y a B

8) Taper EXE