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Intégrale d'une fonction


Intégrale et aire

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Si f est une fonction continue positive sur [a;b], alors $\int_{a}^b f(x)~{\rm d}x =$
    b a f(x) dx est égale à l'aire hachurée (en unité d'aire)
    Bien vérifier que a≤b

    L'aire hachurée correspond l'aire du domaine compris entre la courbe
    de f, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
    Cette aire hachurée s'appelle aussi l'aire sous la courbe entre a et b.
    On se place toujours dans un repère orthogonal.
    Une

    unité d'aire

    , notée u.a, est égale à l'aire du rectangle rose.
    Si
    1 unité sur les abscisses correspond à 2 cm
    1 unité sur les ordonnées correspond à 3 cm
    }
    alors 1 u.a =2×3=6 cm²

  • Si f est une fonction continue négative sur [a;b], alors $\int_{a}^b f(x)~{\rm d}x =$
    b a f(x) dx est égale à moins l'aire hachurée (en unité d'aire)
    Bien vérifier que a≤b


  • Intégrale et aire entre deux courbes

     
    Si 
    {
    f et g sont continues sur [a;b]
    Pour tout x de [a;b] g(x)≤ f(x)

    alors b a f(x)-g(x) dx est égale à l'aire hachurée entre les 2 courbes.
    Bien vérifier que a≤b
    Le résultat est en unité d'aire






Lien entre

intégrale et primitive

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Si u est une fonction continue sur un intervalle I et a∈I, alors la fonction :
    f(x)= x a u(t) dt est  
    f est définie et dérivable sur I
    Pour tout x∈I, f '(x)=u(x).
    f est donc la primitive de u qui s'annule en a !

  • On en déduit que toute fonction f continue sur un intervalle I
    f continue sur I admet toujours des primitives sur I.

    La fonction définie sur I par F(x)= x a f(t) dt est une primitive de f.
    F est la primitive de f qui s'annule en a.
    a appartient à I
    .




Comment

calculer une intégrale

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Avant de calculer b a f(x) dx, vérifier que 
    vérifier que f continue entre a et b.
  • b a f(x) dx =
    b a f(x) dx = F(b)-F(a)F est une primitive de f
    Pour F, on peut choisir n'importe quelle primitive de f, ça ne change pas le résultat!
    Notation pratique avec les crochets: b a f(x) dx = \[\left [ F(x) \right ]^b_a = F(b)-F(a)\]
    Très pratique: \[\left [ -(...) \right ]^b_a = \left [ (...) \right ]^a_b\]
    Exemple: \[\left [ -e^{-2x} \right ]^4_1 = \left [ e^{-2x} \right ]^1_4=e^{-2}-e^{-8}\]




  • b a f(x) dx + c b f(x) dx =
    b a f(x) dx + c b f(x) dx = c a f(x) dx
    Cette relation s'appelle la

    relation de Chasles

    .

  • b a k ⋅ f(x) dx
    b a k ⋅ f(x) dxk b a f(x) dx
    Avant d'appliquer cette propriété,
    bien vérifier que k est une constante !
    c'est à dire un nombre indépendant de x
  • b a f(x) + g(x) dx
    b a f(x) + g(x) dx b a f(x) dx + b a g(x) dx
  • Comment déterminer +$\infty$ a f(x) dx 
    On cherche :\[\lim_{\substack{t \to +\infty}}\int_{a}^t f(x)~{\rm d}x\]

    En général, on procède en 2 étapes:
    1) On détermine \[\int_{a}^t f(x)~{\rm d}x\]
    2) Puis on fait tendre $t$ vers $+\infty$.

    Utiliser cette méthode, pour calculer l'aire $\mathcal{A}$ sous une courbe sur $[a;+\infty[$
    On a tracé la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=e^{-x}$ sur $[0;+\infty[$.

    \[\int_{0}^t e^{-x}~{\rm d}x=\left[-e^{-x} \right]^t_0= \left[e^{-x} \right]^0_t=e^{0}-e^{-t}=1-e^{-t}\]
    \[\lim_{\substack{t \to +\infty}}\int_{0}^t e^{-x}~{\rm d}x=\lim_{\substack{t \to +\infty}}1-e^{-t}=1\]
    Donc $\mathcal{A}=1$ unité d'aire.
  • Pour trouver le

    signe d'une intégrale

    Si f est positive sur [a;b] alors b a f(x) dx ≥ 0
    Si f est négative sur [a;b] alors b a f(x) dx ≤ 0
    Avant d'appliquer ces propriétés,
    bien vérifier que ab !
  • Pour

    encadrer une intégrale

    Si fg sur [a;b] alors b a f(x) dx b a g(x) dx
    On dit que l'intégrale conserve l'ordre.
    sous réserve que ab !
  • La

    valeur moyenne

    de f sur [a;b], notée µ vaut 
    µ =
    1 / b-a
    b a f(x) dx
    Avant d'appliquer cette propriété,
    bien vérifier que a < b !

    Interprétation graphique de µ 
    lorsque f est positive:

    µ est la hauteur du rectangle rose qui a la même aire que l' aire hachurée sous la courbe
Calcule des intégrales en ligne, clique ici !






Méthode des rectangles

Cours en vidéo: comprendre la méthode des rectangles Cours de math en vidéo
  • Pas de formule, ni théorie à connaitre, juste comprendre la méthode.




Intégrale d'une fonction : Exercices à Imprimer
Exercice 1:

Aire sous une courbe - intégrale


Exercice 2:

Aire sous une courbe - aire d'un triangle, trapèze, demi-cercle


Exercice 3:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un polynôme - \(x^n\)
Calculer les intégrales suivantes:
a) \[\int_{-1}^2 2x^5-x^2-1{\rm d}x\] b) \[\int_{0}^{-1} (1-t^2)(2+3t){\rm d}t\] c) \[\int_{2}^{5} \frac 23{\rm d}x\] d) \[\int_{-1}^3 \frac1n{\rm d}x\]
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Exercice 4:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un quotient - \[\frac{u'}{u}\]
Calculer les intégrales suivantes:
a) \[\int_{0}^1 \frac{1}{1+2x}~{\rm d}x\] b) \[\int_{1}^e \frac{6x^2+4x-1}{x}{\rm d}x\] c) \[\int_{0}^1 \frac{x^2}{1+x^3}{\rm d}x\] d) \[\int_{1}^4 \frac1{3t}-\frac3{t^2}{\rm d}t\]
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Exercice 5:

intégrale avec des exponentielles ou des racines

- \[u'e^u\] - \[\frac{u'}{\sqrt{u}}\]
Calculer les intégrales suivantes:
a) \[\int_{0}^1 e^{-x}+\frac 6{e^{2x}}~{\rm d}x\] b) \[\int_{-1}^2 xe^{-x^2}~{\rm d}x\] c) \[\int_{0}^4 \frac 3 {\sqrt{2x+1}}~{\rm d}x\]
Exercice 6:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un quotient de polynômes
1) Etudier, suivant les valeurs du réel \(x\), le signe de \(x^2+2x+5\).
2) En déduire la valeur de \[\int_{-2}^1 \frac{x+1}{x^2+2x+5}{\rm d}x\].
Exercice 7:

Aire entre 2 courbes - intégrale


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Exercice 8:

Intégrale et aire sous une courbe d'une fonction changeant de signe

- aire sous une parabole
La courbe \(\mathcal{C}\) représente dans un repère orthogonal, la fonction \(f\)
définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-2x-3\). Les unités graphiques sont:
1 cm sur l'axe des abscisses et 0.5 cm sur l'axe des ordonnées.
1) Etudier la position relative de la courbe \(\mathcal{C}\) par rapport à l'axe des abscisses.
2) En déduire l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine en unité d'aire puis en cm² compris
    entre la courbe \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=-2\) et \(x=3\).

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Exercice 9: Intégrale et aire entre deux courbes - position relative de 2 courbes
\(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sont les courbes représentatives de deux fonctions \(f\) et \(g\)
définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-4\) et \(\:g(x)=(x+2)^2(x-2)\).
1) Etudier la position relative de leurs courbes représentatives.
2) En déduire l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine en unité d'aire compris
     entre les deux courbes sur l'intervalle \([-2;2]\).
Exercice 10:

Primitive sous la forme (ax+b)e^(-x)


On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(1-x^2)e^{-x}$
dont on a tracé la courbe ci-contre:

1) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction définie sur $\mathbb{R}$
    par ${\rm F}(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ soit une primitive de $f$.
2) En déduire l'aire de la surface bleue.


Exercice 11: Variations de la primitive F à partir des variations de f
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$:

On définit la fonction $F$ sur $\mathbb{R}$ par \[F(x)=\int_{1}^x f(t) {\rm d}t\].
1) Déterminer le tableau de variations de F.
2) Déterminer le signe de l'intégrale \[\int_{1}^3 f(t){\rm d}t\] et de \[\int_{1}^{-5} f(t) {\rm d}t\].
3) Déterminer la limite de F en $+\infty$ et en $-\infty$.
Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Signe d'une intégrale


On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{e^{-4x}}{1+e^{-4x}}$.
Pour tout réel $x$, on pose ${\rm I}(x)=\int_{3}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$.
Déterminer le signe de ${\rm I}(x)$ en fonction de $x$, en justifiant.
Corrigé en vidéo
Exercices 13:

Intégrale - Aire finie ou infinie ?


En voyant cette courbe représentative d'une fonction:

Lætitia affirme que: "Si la fonction représentée tend vers 0 en $+\infty$ alors l'aire hachurée sous la courbe sur $[1;+\infty[$ est finie".
Antoine lui répond: "Même si cette fonction tend vers 0 en $+\infty$, la longueur de l'intervalle $[1;+\infty[$ étant infinie, l'aire hachurée ne peut pas être finie".
A l'aide de deux exemples, justifier qu'ils ont tort tous les deux.
Exercice 14:

Signe de f à partir de la primitive F


Exercice 15:

Encadrer une intégrale - comparer 2 intégrales


Exercice 16: Encadrer une intégrale - aire
Exercice 17:

Fonction définie par une intégrale


Exercice 18:

QCM intégrale


Exercice 19:

QCM fonction définie par une intégrale


Exercice 20:

Encadrer une intégrale


1) Démontrer que pour tout \(x\ge 1\), \[\frac 1{2x}\le \frac 1{x+\sqrt x}\le \frac 1{2\sqrt x}\].
2) En déduire un encadrement de l'intégrale \[\int_{2}^3 \frac{1}{x+\sqrt x}~{\rm d}x\].
Corrigé en vidéo!
Exercice 21:

Encadrer une intégrale - Encadrer ln2

- inégalité et intégrale
1) Démontrer que pour tout réel \(t\ge 1\), \[\frac 1{t^2}\le \frac 1t\le \frac 1 {\sqrt t}\].
2) En déduire que pour tout réel \(x\ge 1\), \[1-\frac 1x \le \ln x \le 2\sqrt x-2\].
3) En déduire un encadrement de \(\ln 2\). Vérifier la cohérence du résultat à l'aide d'une calculatrice.
Exercice 22:

Encadrer une intégrale - Encadrer ln2


1) Démontrer que pour tout réel \(t\ge 0\), \[\:1-t\le \frac 1{1+t}\le 1-t+t^2\].
2) En déduire que pour tout réel \(x\ge 0\), \[\:x-\frac {x^2}2 \le \ln (1+x) \le x-\frac {x^2}2+\frac{x^3}3\].
3) En déduire un encadrement de \(\ln 2\). Vérifier la cohérence du résultat à l'aide d'une calculatrice.
Corrigé en vidéo!
Exercice 23:

Suite définie par une intégrale


Exercice 24:

Aire entre 2 courbes - lnx/x et (lx x)²/x



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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STMG depuis 16 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie