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Complexe et géométrie

Lien entre nombre complexe, point et vecteur
♦ Regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • On se place dans un repère orthonormé (O; I; J).
    A tout nombre complexe z = a+ib, on associe le point M(a,b)
    Réciproquement, à tout point M(a,b), on associe le nombre complexe z = a+ib
    M est appelé l'image de z et z est appelé l'

    affixe du point M

    .
    L'axe (OI) est appelé l'axe des réels, l'axe (OJ) est appelé l'axe des imaginaires.
    M(z) signifie M d'affixe z

  • L'

    affixe du vecteur

     u → + v → est zu → + zv →
    L'affixe du vecteur k·u → est k·zu →
    L'affixe du vecteur AB → est zB - zA
  • L'

    affixe du milieu

    de [AB] est
    zA + zB / 2




Module d'un nombre complexe
♦ Cours sur le module en vidéo Cours de math en vidéo
  • Soit z l'affixe de M. Le module de z noté |z| est égal à la longueur OM.
  • Si z = a+ib, le module de z vaut |z| = √ a²+b²
  • |z×z' | = |z| × |z' | |
    z / z'
    |     =
    |z| / |z' |
    |z + z' | n'est pas égal à |z| + |z' |
  • |zB - zA| = AB
  • |zM - zA| = r ⇔ AM = r ⇔ M appartient au cercle de centre A et de rayon r
  • |zM - zA| = |zM - zB| ⇔ AM = BM ⇔ M appartient à la médiatrice de [AB]
  • z × z_ = |z|²




Argument d'un nombre complexe
♦ Cours sur l'argument en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Soit z l'affixe de M. Un argument de z noté arg(z) est égal à une mesure de l'angle (OI → ; OM →).
  • Pour trouver un argument de z
    On appelle α un argument de z
    1°) Calcule |z|
    2°) Calcule cos(α) =
    a / |z|
    et sin(α) =
    b / |z|

    3°) Trouve α
  • arg(z×z' ) = arg(z) + arg(z' ) arg(
    z / z'
    )     = arg(z)-arg(z' ) Il n'y a pas de formule pour arg(z + z' )




Forme trigonométrique - Notation exponentielle
♦ Cours sur la forme trigonométrique et exponentielle, en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Soit z un complexe de module r et d'argument α alors z = r · (cosα + isinα)
    Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique.
    Pour trouver la forme trigonométrique:
    calculer le module puis l'argument

  • On note eiα l'expression cosα + isinα
    Donc si z est un complexe de module r et d'argument α alors z = reiα
    Cette écriture reiα s'appelle la

    forme exponentielle

    .
    Pour trouver la forme exponentielle:
    calculer le module puis l'argument

    |eiα| = 1 et arg(eiα) = α [2π]

  • ei(α + β) = eiα · eiβ
    eiα / eiβ
    = ei(α - β) (eiα)n = einα où n est un entier naturel
    eiα vérifie les même règles que les puissances



Exercice 1: Lire l'affixe d'un point - d'un vecteur - affixe et parallélogramme
Exercice 2: Affixe et vecteur - affixe d'un point défini vectoriellement
Exercice 3: Affixe du milieu - affixe du centre de gravité
Exercice 4: Affixe d'un vecteur - Démonstration
Exercice 5: Module graphiquement et par le calcul - |zB-zA| - module et triangle équilatéral
Exercice 6: Calculer un module
Exercice 7: Propriété des modules
Exercice 8: Ensemble de point et module - |z-a|=r et |z-a|=|z-b|
Exercice 9: lieu des points |z-a|=|z-b| - par deux méthodes
Exercice 10: Triangle et complexe - point sur un même cercle
Exercice 11: Complexe et triangle équilatéral - parallélogramme - centre de gravité et affixe
Exercice 12: Lire le module et l'argument - forme trigonométrique - exponentielle
Exercice 13: Déterminer le module et un argument - forme trigonométrique et exponentielle
Exercice 14: Propriétés de l'argument
Exercice 15: Utiliser les propriétés des arguments - Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique
Exercice 16: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique
Exercice 17: Ensemble de points et argument - lieu de points et argument
Exercice 18: Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique
Exercice 19: Passer de l'exponentielle complexe à la forme algébrique
Exercice 20: Complexe et angle - Déterminer un angle à l'aide des arguments
Exercice 21: Déterminer l'angle (AB;AC) avec les complexes
Exercice 22: Lien entre angle et argument - Angle (AB;AC) - Complexe et rectangle
Exercice 23: cos(pi/12) et sin(pi/12)
Exercice 24: Montrer qu'un nombre est solution d'une équation z4=-4
Exercice 25: Alignement et complexe - montrer qu'un complexe est réel - lien avec les arguments


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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STMG depuis 19 ans
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