Raisonnement par récurrence - Exercices complémentaires

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $f^n$ est dérivable sur I et que $(f^n)'=n f' f^{n-1}$.
2. Appliquer ce résultat à la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 2$, $5^n\geqslant 4^n+3^n$.

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 4$, $2^n\geqslant n^2$.

$x$ est un réel positif. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$

On place $n$ points distincts sur un cercle, et $n\geqslant 2$. Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces $n$ points est $\dfrac{n(n-1)}2$.

Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé à $n$ côtés vaut $(n-2)\pi$ radian.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+5$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt n^2$.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2+{u_n}^2}$.

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2. Conjecturer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Démontrer cette conjecture.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+3$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac {-5}{2^n}+6$.

Soit la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+1+n$. Écrire un algorithme pour calculer la somme $S_n=u_0+u_1+...+u_n$ en utilisant la boucle "Tant que ...".

On considère la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac {u_n}{u_n+2}$.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt 0$.
2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
3. On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$.
   1. Étudier les variations de $f$.
   2. Refaire la question 2. par une autre méthode.

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par: $u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en utilisant une boucle Tant Que.

1. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n+5$. A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.
   
   Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\rm A3$ pour obtenir les termes successifs de la suite $(u_n)$?
2. Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}=2n v_n+5$. A l'aide d'un tableur, déterminer les premiers termes de la suite $(v_n)$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\frac {n+1}{2n+4}\right)u_n$. On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0. Compléter l’algorithme ci-dessous, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.

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