Correction Exercice Suite Terminale S

Pour montrer qu'une suite est convergente, on pense à utiliser le théorème de convergence montone:

On va déjà regarder à l'aide des premiers termes si la suite croit ou décroit.
\[u_1=\sum\limits_{\substack{k=1}}^{2}{\frac 1k}=\frac 11+\frac 1{2}\]
\[u_2=\sum\limits_{\substack{k=2}}^{4}{\frac 1k}=\frac 12+\frac 1{3}+\frac 1{4}\]
\[u_3=\sum\limits_{\substack{k=3}}^{6}{\frac 1k}=\frac 13+\frac 1{4}+\frac 1{5}+\frac 1{6}\]
Faites le calcul, $u_1>u_2>u_3$, il semble donc que la suite soit décroissante. Démontrons-le.
On va donc calculer $u_{n+1}-u_n$ puis étudier son signe:
\[u_n=\sum\limits_{\substack{k=n}}^{2n}{\frac 1k}=\frac 1n+\frac 1{n+1}+...+\frac1{2n}\]
\[u_{n+1}=\sum\limits_{\substack{k=n+1}}^{2(n+1)}{\frac 1k}=\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+...+\frac1{2n}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}\]
Donc \[u_{n+1}-u_n=\frac 1{2n+1}+\frac 1{2n+2}-\frac1{n}\] puis en mettant au même dénominateur, on obtient:
\[u_{n+1}-u_n=\frac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)}\]
Et donc pour tout entier $n\ge 1$, $u_{n+1}-u_n\le 0$. Donc la suite est décroissante.
D'autre part, la suite $(u_n)$ est positive donc minorée par 0.
La suite $(u_n)$ est donc décroissante et minorée. Donc elle est convergente.