signe d'un polynôme du second degré et inéquation

Signe de $ax^2+bx+c=0$

avec $a\ne 0$
sinon ce n'est pas du second degré!

Conseils pour ce chapitre:

Regarder les vidéos:
- Résoudre une équation du second degré

Comment travailler efficacement
Conseils pour le jour du bac

♦ Comment trouver le signe d'un polynôme du second degré
: regarde le cours en vidéo

Trouver les racines éventuelles

Les racines permettent de connaitre
les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.

Pour trouver les racines:
- Méthode 1: Essayer de factoriser $ax^2+bx+c$

Pour factoriser, 2 techniques:
- Le facteur commun
- L'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

-Méthode 2: A l'aide du discriminant $\Delta=b^2-4ac$

Calculer $\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta\gt 0$, il y a 2 racines $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$, il y a une seule racine $x_1=\frac{-b}{2a}$
Si $\Delta\lt 0$, il n'y a pas de racine réelle.
Tracer l'allure de la parabole

Si $a\gt 0$ la parabole est tournée vers le haut
Si $a\lt 0$ la parabole est tournée vers le bas
Conclure

Utiliser le graphique:
Quand la parabole est au dessus des abscisses, $ax^2+bx+c$ est positif.
Quand la parabole est en dessous des abscisses, $ax^2+bx+c$ est négatif.
On présente les résultats sous la forme d'un tableau de signe.
Tableau de signe

Déterminer le tableau de signe d'une expression
c'est la même question
Trouver le signe.

Signe d'une expression quelconque - cas général

♦ Savoir trouver le signe d'une expression quelconque: cours en vidéo

Méthode 1

1) Mettre au même dénominateur, s'il y a des fractions
2) Factoriser au maximum

Pour factoriser, 2 techniques:
- Le facteur commun
- L'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

3) Trouver le signe de chaque bloc

Si c'est un bloc du type:
$ax+b$

Pour trouver la valeur du ?
résoudre $ax+b=0$

$ax^2+bx+c$

Pour trouver le signe de $ax^2+bx+c$
voir le paragraphe précédent.

4) Conclure à l'aide d'un tableau de signe.
Méthode 2

Si la méthode 1 ne fonctionne pas

Car tu n'arrives pas à factoriser

1) penser à déterminer le tableau de variations

En général, pour déterminer le tableau de variations,
on utilise la dérivation.

2) Déterminer maximum ou minimum
3) Conclure

Si le maximum est négatif, la fonction est négative
Si le minimum est positif, la fonction est positive

Inéquation

♦ Savoir résoudre des inéquations : cours en vidéo

Pour résoudre $\rm A\gt B$

1) Ecrire l'inéquation sous la forme $\rm A-B\gt 0$

On transforme l'inéquation
de façon à avoir 0 à droite.

2) Trouver le signe $\rm A-B$

En utilisant
une des 2 méthodes
expliquées au paragraphe
signe d'une expression quelconque

3) Dresser le tableau de signe de $\rm A-B$.
4) Conclure

On regarde la dernière ligne du tableau de signe
celle qui correspond au signe de $\rm A-B$
Les solutions sont là où on a un + .
Règles sur les inéquations

• additionner ou soustraire

On peut additionner ou soustraire un même nombre des 2 côtés.

• multiplier ou diviser

On peut multiplier ou diviser par un même nombre des 2 côtés
mais il faut que ce nombre soit non nul
et connaitre son signe.
Si le nombre est positif

on ne change pas le sens de l'inéquation.

Si le nombre est négatif

il faut changer le sens de l'inéquation.

• Avec une fonction croissante

Une fonction croissante conserve l'ordre:
$a\le b$ alors $f(a)\le f(b)$

Sous réserve que
$f$ soit croissante sur un intervalle I
et que $a$ et $b$ appartiennent à I.

• Avec une fonction décroissante

Une fonction décroissante inverse l'ordre:
$a\le b$ alors $f(a)\ge f(b)$

Sous réserve que
$f$ soit décroissante sur un intervalle I
et que $a$ et $b$ appartiennent à I.
Erreur à ne pas faire

Erreur classique
Multiplier ou diviser par un nombre dont on ne connait pas le signe

Pour résoudre $\frac{x+3}{x-1}\ge 3$,
on peut avoir envie de multiplier par $x-1$
pour obtenir $ {x+3}\ge 3(x-1)$
Mais c'est faux
car on ne connait pas le signe de $x-1$

Et donc on ne sait pas
s'il faut conserver l'ordre ou inverser l'ordre!

Corrigé en vidéo! Exercices 1: Ecrire la propriété P(n) au rang n+1

Corrigé en vidéo! Exercices 2: Somme de 1+2+...n et raisonnement par récurrence - Somme des n premiers entiers

Corrigé en vidéo! Exercices 3: Somme des carrés 1²+2²+3²+...+n² et récurrence

Corrigé!

Exercices 4: Somme des cubes 1³+2³+...+n³ et récurrence

Corrigé en vidéo! Exercices 5: Démontrer par récurrence que 0 ≤u_n≤ 2 où u_n+1=√(u_n+1)

Exercices 6: Démontrer par récurrence qu'une suite est croissante ou décroissante - sujet bac Pondichéry 2015 partie B

Corrigé en vidéo! Exercices 7: Démontrer par récurrence que ..≤un≤... où un+1=f(un)

Corrigé en vidéo! Exercices 8: Démontrer par récurrence que ..≤un≤... où un+1=f(un)

Corrigé en vidéo!

Exercices 9: Démontrer par récurrence que ... est divisible - multiple - Les erreurs à éviter

Exercices 10: Démontrer par récurrence que ... est divisible - multiple

Corrigé en vidéo! Exercices 11: Démontrer que (uⁿ)'=nu'u^n-1 - dérivée de u^n, x^n

Exercices 12: Démontrer par récurrence une inégalité ...≥ ... -

Exercices 13: Démontrer par récurrence une inégalité ...≥ ...

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Exercices 15: Démontrer par récurrence - nombre de segments avec n points sur un cercle

Exercices 16: Démontrer par récurrence - somme des angles dans un polygone

Exercices 17: Démontrer par récurrence une inégalité ...≥ ...

Corrigé en vidéo! Exercices 18: Démontrer par récurrence une inégalité suite de Héron

Indication:
Soit a, b, c, d appartenant à un intervalle I
Si f est croissante sur I et a ≤ b ≤ c ≤ d
alors f(a) ≤ f(b) ≤ f(c) ≤ f(d)
Autrement dit f conserve l'ordre sur I

Exercices 19: Conjecturer puis démontrer par récurrence l'expression de un en fonction de n - formule explicite

Corrigé en vidéo! Exercices 20: Démontrer par récurrence un=... - formule explicite

Corrigé en vidéo! Exercices 21: Ecrire un Algorithme pour calculer la somme d'une suite

Corrigé en vidéo! Exercices 22: Ecrire un Algorithme pour calculer la somme d'une suite

Corrigé en vidéo! Exercices 23: Ecrire un Algorithme pour calculer la somme d'une suite

Signe d'une expression - Inéquation

signe d'un polynôme du second degré

Signe d'une expression quelconque - cas général

Inéquation

Raisonnement par récurrence : Exercices