Equation du second degré (Exercices plus difficiles)

Si on augmente de deux centimètres la longueur de l'arête d'un cube, son volume augmente alors de 2 402 cm³. Combien mesure l'arête de ce cube ?

Quelles sont les dimensions d'un rectangle de $34$ cm de périmètre et de $60$ cm² d'aire ?

On considère l'équation $ax^2+bx+c = 0$ d'inconnue $x$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a \neq 0$.
1) Démontrer la proposition suivante :
Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors l'équation $ax^2+bx+c = 0$ possède au moins une solution réelle.
2) La réciproque est-elle vraie ? Justifier.

Avec $180$ € j'ai acheté un certain nombre d'articles identiques. Si chaque article avait coûté $3$ € de moins, j'aurais pu en acheter $3$ de plus. Combien en ai-je acheté ?

On considère la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2} x + 1$ et la parabole $\mathscr{P}$ d'équation $y = x^2 - \frac{3}{2}x - 1$.
Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{P}$.

Deux trains A et B partent en même temps d'une même gare, l'un vers le nord et l'autre vers l'est. Le train A se déplace à $25$ km/h de plus en moyenne que le train B.
Après $2$ heures, ils sont à $250$ km de distance (à vol d'oiseau) l'un de l'autre.
Trouver la vitesse moyenne de chaque train.

On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$ : $x^4 - x^2 - 6 = 0$.
1) Montrer que si un nombre réel $x$ est solution de l'équation $(E)$
     alors le nombre $X$ défini par $X = x^2$ vérifie $X^2 -X -6 = 0$.
2) Déterminer les valeurs possibles de $X$.
3) Résoudre l'équation $(E)$.

Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels avec $a\neq 0$, on admet que pour tout réel $x$, on a : \[ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}+c \] 1) Montrer que pour tout réel $x$, $ax^2+bx+c = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$.
2) On pose $\Delta = b^2 -4ac$.
     a) Montrer que si $\Delta$ <0, l'équation $ax^2+bx+c =0$ n'a pas de solutions réelles.
     b) Montrer que si $\Delta \geqslant 0$, on a $ax^2+bx+c = a\Big(x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)$.
3) Montrer que si $\Delta \geqslant 0$, l'équation $ax^2+bx+c =0$ a des solutions réelles et exprimer les solutions en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.

Déterminer $m$ pour que l'équation $5x^2-2mx+m=0$ admette -2 comme solution.
Donner l'autre solution.

Déterminer $a$ pour que l'équation $ax^2-12x+9=0$ admette une racine double.
Donner cette racine double.

Déterminer $m$ pour que l'équation $2x^2+4x+m=0$ n'admette pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Déterminer $m$ pour que l'équation $2x^2+mx+2=0$ n'admette pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Déterminer $m$ pour que l'équation $mx^2+(m-2)x-2=0$ admette une seule solution.

Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= 2 \\ xy&= -3 \end{array} \right.$ où $x$ et $y$ sont des réels.

Soient $x$ et $y$ réels tels que $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= s \\ xy&= p \end{array} \right.$ où $s$ et $p$ sont des réels.
1) Montrer que $x$ et $y$ sont racines de $X^2-sX+p$.
2) En déduire les solutions du système $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= 2 \\ xy&= -3 \end{array} \right.$

Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= 3 \\ \displaystyle \frac 1x+\frac 1y&= \displaystyle -\frac 34 \end{array} \right.$ où $x$ et $y$ sont des réels.

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f: x\to \displaystyle \frac 1{-2x^2-3x+2}$